22.3. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Определения и обозначения

Три вектора называются некомпланарными, если их нельзя расположить в одной плоскости. Иначе говоря, после переноса параллельно самим себе они не окажутся все в одной плоскости; такие векторы неколлинеарны попарно. Это условие отличает направления, заполняющие пространство, от направлений, оставшихся в одной плоскости.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам — это представление его в виде суммы этих векторов, умноженных на числа: a = xp + yq + zr. Здесь a — вектор, который раскладывают, а p, q, r — выбранные некомпланарные векторы. Такая запись позволяет вместо одного пространственного вектора работать с тремя составляющими.

Числа x, y и z называются коэффициентами разложения: ими умножают соответственно векторы p, q и r. Коэффициенты показывают величину и направление каждой составляющей, причём знак учитывает, совпадает ли направление с исходным вектором. Они зависят и от разлагаемого вектора, и от выбранной тройки.

Базис пространства — это тройка некомпланарных векторов, по которой можно разложить любой вектор пространства. Если базис фиксирован, каждому вектору соответствует своя единственная тройка коэффициентов. Это понятие нужно для описания векторов через координаты.

Как это устроено

Представьте три некомпланарных вектора, выходящих из одной точки: они направлены в разные стороны и не помещаются в одной плоскости. Чтобы получить заданный вектор, можно взять часть вдоль первого направления, часть вдоль второго и часть вдоль третьего. Складывая эти составляющие, приходим к конечному вектору. Так коэффициенты превращают выбор трёх направлений в способ описать любое перемещение в пространстве.

Существование разложения можно увидеть на параллелепипеде. Отложим из общего начала векторы, параллельные трём заданным направлениям, причём длину каждого выберем с учётом требуемой составляющей. Через концы проведём параллельные этим векторам рёбра и достроим параллелепипед. Его диагональ из общего начала совпадёт с заданным вектором, если составляющие выбраны подходящим образом.

Диагональ равна сумме трёх векторов-рёбер, выходящих из одной вершины. Сначала к первому ребру можно прибавить вектор второго ребра, перенеся его параллельно к концу первого; правило треугольника даёт диагональ соответствующей грани. Затем прибавляется третье ребро, перенесённое к концу полученного вектора. Правило сложения приводит к пространственной диагонали, поэтому для неё получается запись p + q + r, если рёбра заданы именно такими векторами.

Разложение единственно для фиксированной некомпланарной тройки. Допустим, один вектор записали как xp + yq + zr и как x₁p + y₁q + z₁r. Вычитая равенства, получим (x − x₁)p + (y − y₁)q + (z − z₁)r = 0. Если хотя бы один из коэффициентов этой суммы ненулевой, из равенства можно выразить один из трёх векторов через два других, а значит, все три окажутся в одной плоскости; это противоречит некомпланарности.

При чтении чертежа коэффициент находят, отслеживая направление и количество отрезков вдоль каждого базисного вектора. Один отрезок в том же направлении даёт коэффициент 1, два таких отрезка — 2, а движение в противоположную сторону меняет знак. Если составляющая не совпадает с целым числом базисных отрезков, коэффициент может быть дробным. Проверка направления особенно важна: одинаковая длина не означает одинаковый вектор, если стрелки направлены по-разному.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Таблица собирает основные условия и выводы темы. Используйте её как краткий маршрут решения: сначала проверьте исходные векторы, затем запишите разложение и вспомните, почему оно существует и единственно.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде из вершины A выходят рёбра, заданные векторами AB = p, AD = q и AA₁ = r. Выразить диагональ AC₁ через эти три вектора. Нужно проследить путь от A к противоположной вершине так, чтобы каждый шаг совпадал с одним из рёбер.

1. Сначала из A пройдём к B: этот шаг равен p. Затем переносим вектор AD к B; он равен q и приводит к вершине C.
2. Из C переносим вектор AA₁, равный r. В результате приходим в C₁, поэтому весь путь от A состоит из трёх слагаемых.
3. По правилу сложения векторов получаем AC₁ = AB + AD + AA₁ = p + q + r. Все три вектора направлены вдоль рёбер, выходящих из A.

Ответ: AC₁ = p + q + r. Если одно ребро направлено противоположно выбранному вектору, в соответствующем слагаемом появляется минус.

Задача 2. В параллелепипеде с вершиной A и векторами AB = p, AD = q, AA₁ = r выразить вектор из вершины B₁ в вершину D. Здесь оба конца не совпадают с началом базисных векторов, поэтому удобно представить их положения относительно A.

1. Вектор AB₁ задаёт положение B₁ относительно A. Чтобы попасть туда, нужно пройти по AB, затем по AA₁, значит AB₁ = p + r.
2. Положение D относительно A задаётся одним ребром: AD = q. Вектор от B₁ к D равен разности векторов, ведущих из A к концам: B₁D = AD − AB₁.
3. Подставляем найденные выражения: B₁D = q − (p + r) = −p + q − r. Отрицательные знаки показывают, что составляющие вдоль p и r направлены противоположно.

Ответ: B₁D = −p + q − r. Разность радиус-векторов помогает не перепутать порядок: конечная точка минус начальная.

Задача 3. Для некомпланарных векторов p, q, r даны две записи одного вектора: a = 2p − q + 3r и a = p + 2q + zr. Проверить, могут ли обе записи быть верными, и найти z. Приравниваем выражения, поскольку их левые части одинаковы.

1. Переносим все слагаемые в одну сторону: (2 − 1)p + (−1 − 2)q + (3 − z)r = 0. Получаем p − 3q + (3 − z)r = 0.
2. Некомпланарные векторы не могут дать нулевую сумму с ненулевыми коэффициентами. Поэтому коэффициенты при p, q и r должны быть нулевыми одновременно.
3. Но коэффициент при p равен 1, а при q равен −3. Они не равны нулю при любом z, значит, записи не могут одновременно быть верными.

Ответ: таких значений z нет. Единственность разложения позволяет проверить совпадение всех коэффициентов, а не только коэффициента при r.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать тройку некомпланарной лишь потому, что векторы не параллельны. Это происходит из-за смешения непараллельности и некомпланарности: три разных направления могут поместиться в одной плоскости. Проверьте, можно ли перенести все три вектора в одну плоскость; если можно, тройка компланарна.
• Ошибка: считать, что любая тройка позволяет разложить любой вектор пространства. Такой вывод гарантирован только для некомпланарных векторов, потому что компланарные не задают направления вне своей плоскости. Перед разложением убедитесь, что исходные векторы не лежат в одной плоскости.
• Ошибка: изменить направление составляющей, но оставить прежний знак коэффициента. Обычно это происходит, когда смотрят только на длину отрезка и забывают о стрелке. Сравните направления: противоположный вектор записывается с отрицательным коэффициентом.
• Ошибка: переносить те же коэффициенты на другую тройку векторов. Единственность относится только к одной фиксированной некомпланарной тройке, а при смене направлений или длин коэффициенты могут измениться. Для проверки подставьте выбранные векторы в запись и убедитесь, что сумма по-прежнему равна нужному вектору.

Связь с другими темами

Для разложения понадобятся сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и правило параллелограмма: с их помощью строят и складывают составляющие. Компланарность и разложение по двум неколлинеарным векторам описывают направления в плоскости; третье некомпланарное направление переносит этот способ в пространство. Позже разложение по базису станет основой координат вектора и поможет решать задачи о геометрических фигурах.

Что запомнить

• Три некомпланарных вектора задают три направления в пространстве.
• Любой вектор пространства можно разложить по трём некомпланарным векторам.
• Разложение имеет вид суммы трёх векторов, умноженных на числа.
• Для фиксированной тройки некомпланарных векторов разложение единственно.
• Коэффициент может быть отрицательным, если составляющая направлена противоположно исходному вектору.
• Тройка некомпланарных векторов называется базисом пространства.