3.3. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Определения и обозначения

Три вектора называются некомпланарными, если их нельзя расположить в одной плоскости. Геометрически это означает, что векторы задают три направления, не сводимые к двум направлениям одной плоскости. Такое условие отличает полноценную тройку пространственных направлений от векторов, которые лежат в одной плоскости.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам — это представление данного вектора как суммы числовых кратных этих векторов. Например, запись d = xa + yb + zc означает, что вектор d складывается из векторов xa, yb и zc. Такое представление позволяет описывать пространственный вектор через три выбранных направления.

Числа x, y и z называются коэффициентами разложения. Каждый коэффициент относится к своему вектору: x — к a, y — к b, z — к c. Коэффициенты показывают, во сколько раз нужно изменить длину соответствующего вектора и сохраняется ли его направление.

Координатами вектора в базисе называют коэффициенты его разложения по выбранным трём некомпланарным векторам. Например, если d = xa + yb + zc, то координаты d в базисе (a, b, c) — это числа x, y, z. Такое обозначение удобно, потому что вместо самого вектора можно работать с тремя числами.

Как это устроено

Три некомпланарных вектора задают направления, достаточные для описания любого перемещения в пространстве. Если бы все три лежали в одной плоскости, их комбинациями можно было бы получить только векторы этой плоскости. Некомпланарность означает, что третье направление выходит за пределы плоскости первых двух, и вместе направления охватывают всё пространство.

Геометрически разложение удобно представить через параллелепипед. Перенесём три заданных вектора так, чтобы их начала совпали, и построим параллелепипед с рёбрами, параллельными этим векторам. Вершину, противоположную общему началу, можно достичь, последовательно пройдя вдоль трёх рёбер; правило сложения векторов говорит, что сумма этих перемещений равна диагонали.

В общем случае нужная диагональ не обязана совпадать с диагональю параллелепипеда, построенного на исходных векторах без изменения. Поэтому перед сложением векторы умножают на числа: так получают рёбра нужной длины, направленные вдоль исходных векторов. Положительный коэффициент сохраняет направление, отрицательный разворачивает вектор в противоположную сторону, а нулевой убирает это направление из суммы.

Разложение существует для любого вектора пространства, потому что его конец можно получить из начала, перемещаясь по трём независимым направлениям. Геометрически можно подобрать три ребра параллелепипеда, параллельные заданным векторам, так, чтобы его диагональ соответствовала нужному вектору. Длины и направления этих рёбер задаются числовыми кратными, поэтому сумма кратных равна исходному вектору.

Разложение единственно, потому что два разных набора коэффициентов не могут дать один и тот же результат. Если xa + yb + zc = x₁a + y₁b + z₁c, после вычитания получится нулевая комбинация векторов с коэффициентами-разностями. Если хотя бы одна разность не равна нулю, один из векторов можно выразить через два других, а значит, все три окажутся компланарными. Это противоречит условию, поэтому соответствующие коэффициенты обязаны совпадать.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Таблица связывает условие задачи с тем, что из него можно заключить. Используйте её, чтобы проверить, есть ли основание раскладывать вектор и сравнивать коэффициенты. Важно учитывать, какой именно вектор стоит при каждом коэффициенте.

Разбор задач

Задача 1. Даны некомпланарные векторы a, b, c и вектор d = 2a − b + 3c. Укажите коэффициенты разложения d по векторам a, b, c. Нужно сопоставить каждое число с тем вектором, который стоит рядом с ним, сохранив знак.

1. Сравним запись с общей формой d = xa + yb + zc.
2. При a стоит число 2, значит, x = 2. При b стоит −1, поскольку −b = (−1)b, поэтому y = −1.
3. При c стоит число 3, значит, z = 3.

Ответ: коэффициенты разложения равны 2, −1 и 3. Отрицательный знак относится именно к коэффициенту при b.

Задача 2. В параллелепипеде выразите вектор диагонали через векторы трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Обозначим эти рёбра векторами a, b и c, а общую вершину примем за начало диагонали. Требуется понять, какие перемещения последовательно приводят к её концу.

1. Из общей вершины пройдём сначала вдоль ребра, заданного вектором a.
2. Затем добавим перемещение вдоль ребра b, а после него — вдоль ребра c. По правилу сложения векторов итоговое перемещение равно сумме пройденных перемещений.
3. Конечная точка совпадает с противоположной вершиной параллелепипеда, поэтому сумма рёберных векторов и есть вектор диагонали.

Ответ: вектор диагонали равен a + b + c. Здесь направление каждого слагаемого выбрано от общей вершины вдоль соответствующего ребра.

Задача 3. Векторы a, b, c некомпланарны. Докажите, что равенство 2a − b + 4c = xa + yb + zc возможно только при x = 2, y = −1, z = 4. Поскольку векторы некомпланарны, для них действует единственность разложения.

1. Перенесём выражения в одну часть: (2 − x)a + (−1 − y)b + (4 − z)c = 0.
2. Нулевая комбинация некомпланарных векторов возможна только тогда, когда все коэффициенты при них равны нулю.
3. Получаем 2 − x = 0, −1 − y = 0 и 4 − z = 0. Решая эти равенства, находим значения x, y и z.

Ответ: x = 2, y = −1, z = 4. Некомпланарность здесь необходима: именно она гарантирует, что коэффициенты нельзя изменить, сохранив тот же вектор.

Типичные ошибки

Ошибка 1 — считать, что разложение всегда существует и единственно для любых трёх векторов. Так бывает, если забыть проверить условие о некомпланарности. Компланарные векторы не задают все направления пространства, а их комбинации остаются в одной плоскости. Перед применением разложения убедитесь, что третий вектор не лежит в плоскости первых двух.

Ошибка 2 — принимать коэффициенты за длины векторов. Коэффициент является числом, на которое умножают вектор, поэтому он может быть отрицательным или равным нулю. Ошибка возникает из-за того, что геометрически коэффициент связан с длиной ребра параллелепипеда. Проверка проста: длина не бывает отрицательной, а коэффициент разложения — бывает.

Ошибка 3 — менять порядок векторов, но оставлять коэффициенты на прежних местах. Коэффициент прикреплён к конкретному вектору, а не просто занимает место в записи. При перестановке слагаемых запись остаётся верной только в том случае, если каждое число по-прежнему умножает свой вектор. Для самопроверки сопоставьте отдельно пары x с a, y с b и z с c.

Ошибка 4 — приравнивать коэффициенты в любых равенствах линейных комбинаций. Такое сравнение обосновано, когда участвующие векторы некомпланарны и разложение единственно. Если условие не проверено, одинаковый вектор может получаться из разных комбинаций. Сначала установите некомпланарность, затем приравнивайте соответствующие коэффициенты.

Связь с другими темами

Для разложения нужны сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и правило треугольника: эти действия позволяют составить сумму перемещений. Коэффициенты разложения связаны с координатами вектора, а выбранная тройка некомпланарных векторов образует базис пространства. Поэтому разложение даёт способ описывать векторы числовыми тройками. Этот приём используют в пространственных задачах, например при выражении диагоналей и рёбер многогранников.

Что запомнить

• Три некомпланарных вектора не лежат в одной плоскости.
• По трём некомпланарным векторам можно разложить любой вектор пространства.
• Разложение записывают как d = xa + yb + zc.
• Числа x, y, z — коэффициенты разложения.
• Разложение по фиксированным трём некомпланарным векторам единственно.
• Коэффициенты разложения могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.