45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Определения и обозначения

Некомпланарные векторы — это три вектора, которые не лежат в одной плоскости. Чтобы проверить это условие, можно перенести векторы так, чтобы их начала совпали: тогда их направления не должны помещаться в одну плоскость. Такие векторы задают три независимых направления в пространстве, а не только внутри одной плоскости.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам — представление заданного вектора в виде суммы числовых кратных этих векторов. Если исходные векторы обозначены a, b и c, то запись имеет вид v = x·a + y·b + z·c. Эта запись позволяет описать положение любого вектора через выбранные направления, не вводя для каждой задачи новые векторы.

Коэффициенты разложения — числа x, y и z в записи v = x·a + y·b + z·c. Модуль каждого числа показывает, во сколько раз соответствующий исходный вектор растягивается или укорачивается, а знак указывает, сохраняется ли его направление или меняется на противоположное. Коэффициенты нужны, чтобы сравнивать векторы и выполнять действия с ними по отдельным направлениям.

Единственность разложения означает, что при фиксированных некомпланарных a, b и c один и тот же вектор нельзя получить с двумя разными наборами коэффициентов. Иными словами, у вектора v есть только одна тройка чисел x, y, z, для которой выполняется равенство. Благодаря этому коэффициенты можно использовать как однозначные координаты вектора относительно выбранных направлений.

Как это устроено

В пространстве есть три независимых направления: если выбрать только два, все их суммы останутся в плоскости, натянутой на эти направления. Третий вектор, не лежащий в этой плоскости, позволяет выйти за её пределы. Изменяя длину и знак каждого из трёх векторов умножением на число, можно перемещаться вдоль всех направлений и получить вектор с любым пространственным положением.

Геометрически удобно отложить a, b и c из одной точки и достроить на них параллелепипед. Его рёбра показывают три выбранных направления, а диагональ из общего начала соответствует сумме a + b + c. Если длины или направления вкладов нужно изменить, вместо каждого ребра берут его числовой кратный: например, 2a направлен как a и вдвое длиннее, а −a направлен противоположно. Так можно наглядно представить, как складываются составляющие будущего вектора.

Чтобы выразить произвольный вектор, сначала перенесите его параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось в общей точке с a, b и c. Затем достройте параллелепипед, используя в качестве рёбер векторы, параллельные исходным направлениям, но нужной длины и ориентации. Его диагональ должна совпасть с перенесённым вектором. Числа, на которые пришлось умножить a, b и c, и будут коэффициентами разложения.

Коэффициенты существуют для любого вектора, потому что три некомпланарных направления охватывают всё пространство, а не только одну плоскость. У каждого вектора найдётся положение диагонали в построении с такими направлениями. Однозначность можно увидеть через вычитание: если два набора коэффициентов давали бы один вектор, их разность дала бы нулевой вектор как комбинацию a, b и c. При некомпланарности это возможно только тогда, когда все три разности равны нулю, то есть наборы совпадают.

Разложения удобно использовать при сложении и умножении на число. Например, если u = x₁a + y₁b + z₁c, а v = x₂a + y₂b + z₂c, то складывают соответствующие коэффициенты: u + v = (x₁+x₂)a + (y₁+y₂)b + (z₁+z₂)c. При умножении u на число k каждый коэффициент умножают на k: ku = (kx₁)a + (ky₁)b + (kz₁)c. Это работает потому, что при раскрытии скобок слагаемые при одном исходном векторе можно объединить.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

В таблице собраны условие, результат и правила работы с разложением. При решении задачи сначала проверьте, что исходная тройка некомпланарна, а затем записывайте векторы через неё. Для сложения и умножения не смешивайте коэффициенты, относящиеся к разным исходным векторам.

Разбор задач

Задача 1. Даны три некомпланарных вектора a, b и c. Разложить вектор, совпадающий с b, по этой тройке. Здесь заданный вектор уже направлен точно так же и имеет ту же длину, что один из исходных, поэтому менять его не требуется.

1. Записываем, что искомый вектор равен b.
2. В разложении ставим коэффициент 1 при b, поскольку нужен ровно один такой вектор.
3. При a и c ставим нули: их добавление не должно изменить результат.

Ответ: b = 0·a + 1·b + 0·c. Проверка простая: нулевые слагаемые исчезают, и остаётся заданный вектор.

Задача 2. Векторы a, b и c задают рёбра параллелепипеда, выходящие из одной вершины. Требуется выразить вектор, соединяющий эту вершину с противоположной. Нужно представить путь к противоположной вершине как последовательный переход по трём рёбрам.

1. Начинаем движение от общей вершины вдоль ребра, заданного вектором a.
2. Из следующей вершины переносим вектор b параллельно самому себе; затем так же добавляем c.
3. По правилу сложения векторов результатом последовательных переходов будет a + b + c.

Ответ: диагональ параллелепипеда равна a + b + c. Каждый коэффициент здесь равен 1, потому что по каждому направлению пройдено ровно одно ребро.

Задача 3. В тетраэдре векторы a, b и c с общим началом некомпланарны. Даны u = 2a − b + 3c и v = −a + 4b + c; найти разложение w = 2u − v. Сначала подставим разложения, а затем объединим слагаемые с одинаковыми исходными векторами.

1. Подставляем: w = 2(2a − b + 3c) − (−a + 4b + c).
2. Раскрываем скобки: w = 4a − 2b + 6c + a − 4b − c.
3. Собираем коэффициенты отдельно: при a получаем 4 + 1, при b — −2 − 4, при c — 6 − 1.

Ответ: w = 5a − 6b + 5c. Знак перед v изменил знаки всех его коэффициентов, поэтому важно было раскрыть вторые скобки со знаком минус.

Типичные ошибки

Ошибка: считать достаточным условием некомпланарности то, что векторы попарно не параллельны. Непараллельные векторы всё равно могут лежать в одной плоскости, и это часто упускают, проверяя только направления каждой пары. Проверьте себя: мысленно перенесите начала всех трёх векторов в одну точку и выясните, можно ли провести через них одну плоскость.

Ошибка: судить о некомпланарности по концам векторов, забывая, что их начала могут быть в разных точках. Так возникает путаница между расположением отдельных отрезков и направлений векторов. Для проверки перенесите векторы параллельно так, чтобы начала совпали; именно их направления должны не помещаться в одной плоскости.

Ошибка: складывать коэффициенты при разных исходных векторах. Например, коэффициент при a нельзя прибавить к коэффициенту при b, потому что они относятся к разным направлениям. Проверяйте каждый столбец разложения отдельно: сначала объединяйте все слагаемые при a, затем при b и при c.

Ошибка: утверждать единственность разложения для компланарной тройки. В такой ситуации некоторые направления зависят друг от друга, поэтому коэффициенты могут оказаться неоднозначными; кроме того, векторы вне общей плоскости вообще нельзя получить. Чтобы проверить рассуждение, убедитесь сначала, что тройка действительно некомпланарна, и только затем используйте существование и единственность.

Связь с другими темами

Для работы с разложениями нужно знать сложение векторов и умножение вектора на число. Геометрическое представление помогает правило параллелепипеда: сумма трёх векторов из одной точки ведёт к противоположной вершине. Эти действия объясняют, откуда берётся форма разложения и как её преобразовывать.

Разложение по трём некомпланарным векторам лежит в основе координатного метода в пространстве: коэффициенты можно рассматривать как координаты вектора в выбранной системе направлений. Это позволяет сводить геометрические рассуждения к вычислениям. Метод применяют при решении задач стереометрии, в том числе для выражения диагоналей, рёбер и других векторов фигуры.

Что запомнить

• Три некомпланарных вектора не лежат в одной плоскости.
• Любой вектор пространства можно разложить по фиксированной тройке некомпланарных векторов.
• Коэффициенты разложения определяются однозначно.
• Разложение записывают как сумму числовых кратных трёх исходных векторов.
• При действиях с разложениями складывают или умножают соответствующие коэффициенты.