"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Три некомпланарных вектора задают независимые направления, из которых можно составить любой вектор пространства. Разложение представляет исходный вектор как сумму трёх векторов, параллельных этим направлениям: d = αa + βb + γc. Числа α, β и γ показывают, сколько раз и в какую сторону нужно взять каждый вектор. Для фиксированных некомпланарных a, b и c такое представление существует и только одно, поэтому коэффициенты можно использовать как координаты вектора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Некомпланарные векторы — три вектора, которые не лежат в одной плоскости. Если отложить их от общего начала, они зададут три разных направления в пространстве. Это условие нужно, чтобы направления не сводились к одной плоскости.
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам — представление его в виде суммы трёх векторов, каждый из которых коллинеарен одному из заданных. Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Такое представление позволяет описать любой вектор через три выбранных направления.
Коэффициенты разложения — числа, на которые умножают заданные векторы. Они показывают, во сколько раз взять каждый вектор и нужно ли изменить его направление. Благодаря коэффициентам запись учитывает и длину, и направление слагаемых.
Единственность разложения означает, что для фиксированных трёх некомпланарных векторов у данного вектора есть только один набор коэффициентов. Иначе говоря, нельзя получить один и тот же вектор двумя разными способами из этих направлений. Это свойство нужно, чтобы координаты вектора были определены однозначно.
Два неколлинеарных вектора можно отложить от одной точки, и тогда они задают плоскость: любые перемещения вдоль этих двух направлений остаются в ней. Если добавить третий вектор, не лежащий в этой плоскости, появляется возможность двигаться за её пределы. Именно поэтому три некомпланарных направления позволяют добраться до любой точки пространства, а не только до точек одной плоскости.
Чтобы геометрически увидеть разложение, отложим векторы a, b и c от общего начала O. Через концы этих векторов проводят параллельные прямые и достраивают параллелепипед. Его рёбра направлены параллельно a, b и c, но их длины могут отличаться от длин этих векторов. Достроенный параллелепипед показывает, как совместить перемещения по трём заданным направлениям.
Пусть нужно получить вектор из O к выбранной вершине параллелепипеда. До неё можно добраться последовательно: сначала переместиться вдоль одного ребра, затем вдоль второго и, наконец, вдоль третьего. По правилу сложения векторов итоговое перемещение равно сумме этих трёх векторов. Значит, диагональ из O представляется как αa + βb + γc, где коэффициенты учитывают длину каждого шага и его направление.
Почему такое построение возможно для любого вектора? Конец заданного вектора можно рассматривать как точку пространства, а через неё провести плоскости, параллельные граням построенного параллелепипеда. Они определят требуемые перемещения по трём направлениям; каждое из них будет параллельно одному из исходных векторов. Так получают три слагаемых, сумма которых ведёт из общего начала к концу исходного вектора.
Предположим, один и тот же вектор записан двумя способами: αa + βb + γc и α′a + β′b + γ′c. Вычитая равенства, получаем (α − α′)a + (β − β′)b + (γ − γ′)c = 0. Если хотя бы один коэффициент в этой сумме ненулевой, три слагаемых не могут взаимно уничтожиться: первые два задают плоскость, а третье направлено вне неё. Поэтому все разности коэффициентов равны нулю, и разложение единственно.
| Что рассматриваем | Содержание | Что это даёт |
|---|---|---|
| Условие на векторы | Три вектора не лежат в одной плоскости. | Три независимых направления в пространстве. |
| Вид разложения | d = αa + βb + γc. | Запись вектора через выбранные направления. |
| Существование | Для любого d можно найти α, β и γ. | Каждый вектор пространства можно представить такой суммой. |
| Единственность | Набор коэффициентов для данного d только один. | Разложение не зависит от выбора способа построения. |
| Смысл коэффициентов | α, β и γ задают множители при a, b и c. | Коэффициенты служат координатами d в выбранных направлениях. |
Сначала проверьте условие: векторы должны быть некомпланарны, иначе вывод о любом векторе пространства не работает. Затем сопоставьте слагаемые с направлениями a, b и c, а коэффициенты читайте как координаты. Таблица также помогает отличить существование разложения от его единственности: это два отдельных свойства.
Задача 1. Три вектора a, b, c некомпланарны. Постройте параллелепипед, рёбра которого исходят из точки O и равны этим векторам, и укажите, как получить его диагональ из O. Нужно связать геометрическую диагональ с суммой перемещений вдоль рёбер.
Ответ: диагональ из O получают сложением трёх векторов, равных рёбрам: q = a + b + c. Порядок обхода рёбер можно менять, поскольку сумма векторов не зависит от порядка слагаемых. Если рёбра только параллельны заданным векторам, а их длины могут быть другими, диагональ имеет вид αa + βb + γc.
Задача 2. Вектор d задан равенством d = 2a − b + 3c, где a, b, c — некомпланарные векторы. Запишите разложение и назовите коэффициенты. Следует внимательно прочитать знак каждого слагаемого, ведь он задаёт направление.
Ответ: d = 2a + (−1)b + 3c, коэффициенты разложения — 2, −1 и 3. Отрицательный знак не означает отрицательную длину: длина вектора −b равна длине b, но его направление противоположно. Ненулевые коэффициенты показывают, что в разложении участвуют все три заданных направления.
Задача 3. Докажите, что если αa + βb + γc = 0 для некомпланарных векторов a, b, c, то α = β = γ = 0. Здесь нужно показать не только результат, но и почему ненулевые слагаемые не могут дать нулевой вектор.
Ответ: α = β = γ = 0. Это доказывает, что у нулевого вектора нет нетривиального разложения по трём некомпланарным направлениям. Именно такой вывод позволяет доказать единственность коэффициентов для любого другого вектора.
Ошибка: считать, что подойдут любые три вектора. Компланарные векторы остаются в одной плоскости, и их комбинациями нельзя получить вектор вне неё. Такое заблуждение возникает, если помнить только число слагаемых, но забыть условие на направления. Проверьте, можно ли расположить все три вектора в одной плоскости.
Ошибка: смешивать параллельность и равенство. Векторы разложения должны быть коллинеарны заданным, но их длины и направления могут отличаться. Это путают, потому что при построении параллелепипеда часто рассматривают рёбра, равные исходным векторам. Проверьте, не приравняли ли вы длину слагаемого длине исходного вектора без основания.
Ошибка: терять знак коэффициента. Отрицательный множитель меняет направление вектора, а не просто уменьшает его длину. Знак легко пропустить, если переписывать сумму по отдельным буквам. Для проверки представьте слагаемое −b как вектор, направленный противоположно b.
Ошибка: утверждать единственность без некомпланарности. Если направления зависимы, разные наборы коэффициентов могут дать один и тот же вектор. Причина ошибки — использование свойства единственности без проверки его условия. Перед доказательством вычитанием равенств убедитесь, что a, b и c некомпланарны.
Для работы с разложением нужны сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и правило параллелограмма: с их помощью строят сумму и меняют длину или направление слагаемых. На плоскости вектор представляют через два неколлинеарных вектора, а здесь тот же подход переносится в пространство с добавлением третьего независимого направления. Коэффициенты разложения затем становятся координатами вектора. Это помогает решать задачи на векторы и параллелепипеды.
Что значит, что три вектора некомпланарны?
Это значит, что их нельзя расположить в одной плоскости, даже если отложить от общего начала. Два вектора задают плоскость, а третий направлен за её пределы.
Почему для разложения в пространстве нужны именно три направления?
Одного или двух направлений недостаточно: они задают прямую или плоскость, а не всё пространство. Третье направление, не лежащее в плоскости первых двух, позволяет получить векторы за её пределами.
Могут ли коэффициенты разложения быть отрицательными или нулевыми?
Да. Отрицательный коэффициент означает, что соответствующий вектор берут в противоположном направлении, а нулевой — что это направление не участвует в разложении.
Почему разложение по трём некомпланарным векторам единственно?
Если два набора коэффициентов дают один вектор, при вычитании равенств получается нулевая сумма в трёх некомпланарных направлениях. Такая сумма возможна только тогда, когда все три коэффициента равны нулю, поэтому наборы совпадают.
Чем коэффициенты разложения отличаются от длин исходных векторов?
Коэффициент показывает, во сколько раз и в каком направлении нужно умножить соответствующий вектор при составлении суммы. Длина же самого вектора — это расстояние между его началом и концом, и она не указывает, какую долю вектора нужно взять.
45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
