44. Правило параллелепипеда

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, все шесть граней которого являются параллелограммами. Его можно построить на трёх некомпланарных векторах с общим началом: векторы задают три ребра из одной вершины, а параллельными переносами достраивают остальные. Это понятие позволяет представить сложение в пространстве с помощью геометрической фигуры.

Правило параллелепипеда — правило сложения трёх векторов с общим началом: их сумма изображается диагональю параллелепипеда, выходящей из этой точки. Иными словами, три вектора рассматривают как рёбра фигуры, а результат находят одним построением. Правило нужно, чтобы наглядно сложить сразу три вектора.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. Для сложения важен не только отрезок, но и направленный отрезок — вектор диагонали от общего начала исходных векторов к противоположной вершине. Такое уточнение помогает не перепутать направление суммы.

Сумма векторов — вектор, который получается при сложении заданных векторов; для трёх векторов с общим началом он задаётся диагональю параллелепипеда. Вектор характеризуют длина и направление, поэтому одной длины рёбер недостаточно. Это определение связывает геометрическое построение с результатом сложения.

Как это устроено

Сначала три вектора с общим началом принимают за рёбра параллелепипеда, выходящие из одной вершины. Чтобы построить фигуру, через конец каждого вектора проводят прямые, параллельные двум другим рёбрам, и получают остальные вершины. Параллельный перенос сохраняет длину и направление вектора, поэтому достроенные рёбра соответствуют исходным. Именно так все три направления оказываются учтены в одной фигуре.

Диагональ из общей вершины даёт сумму потому, что построение можно разобрать на два обычных сложения. Сначала складывают два вектора по правилу параллелограмма: диагональ одной грани изображает их сумму. Затем к полученному вектору прибавляют третий по правилу треугольника, перенося его к концу первого. Получившийся путь приводит в ту же противоположную вершину, что и пространственная диагональ.

Направление диагонали существенно: вектор суммы начинается там же, где начинаются слагаемые. Его конец находится в вершине, противоположной общей начальной точке, поскольку перемещение по диагонали приводит к тому же результату, что последовательное перемещение вдоль трёх рёбер. Если направить диагональ наоборот, получится вектор, противоположный сумме. Поэтому при построении важно отмечать не только нужный отрезок, но и стрелку.

Правило согласуется с переместительным и сочетательным свойствами сложения векторов. Перестановка рёбер не меняет построенную противоположную вершину, поэтому порядок слагаемых не влияет на результат. Можно сначала сложить любые два вектора, а затем прибавить третий: итоговая точка остаётся той же. Это объясняет, почему диагональ соответствует именно сумме всех трёх векторов, а не одному выбранному порядку сложения.

Если векторы заданы координатами, результат проверяют покоординатно: складывают отдельно значения каждой координаты. Например, для a = (a₁; a₂; a₃), b = (b₁; b₂; b₃) и c = (c₁; c₂; c₃) сумма равна (a₁ + b₁ + c₁; a₂ + b₂ + c₂; a₃ + b₃ + c₃). Это работает, потому что координаты описывают перемещения вдоль одних и тех же осей. Координатная проверка даёт точный ответ и помогает обнаружить ошибку в геометрическом построении.

Как построить сумму трёх векторов по правилу параллелепипеда

Сначала найдите общую начальную точку: именно она становится вершиной параллелепипеда. Из неё должны выходить все три ребра, соответствующие слагаемым. По таблице удобно проверить, правильно ли выбрано начало построения, прежде чем проводить диагональ.

Разбор задач

Задача 1. Изобразите три некомпланарных вектора a, b и c с общим началом и постройте их сумму. Поскольку все векторы уже начинаются в одной точке, их можно сразу принять за рёбра параллелепипеда. Требуется найти вершину, соответствующую последовательному перемещению по всем трём направлениям.

1. Отметьте общую точку и проведите из неё векторы a, b и c.
2. Через конец каждого вектора достройте параллельные копии двух других рёбер, чтобы получился параллелепипед.
3. Проведите диагональ от общей вершины к противоположной и направьте её стрелку к этой противоположной вершине.

Каждый шаг по ребру добавляет одно из исходных перемещений, поэтому диагональ объединяет все три. Ответ: сумма a + b + c изображается диагональю параллелепипеда, выходящей из общей начальной точки.

Задача 2. Даны векторы a = (1; 2; 0), b = (−2; 1; 3), c = (4; 0; −1). Найдите координаты вектора a + b + c. Здесь построение можно проверить вычислением: каждый компонент результата показывает суммарное перемещение вдоль соответствующей координатной оси. Складывать нужно координаты одного и того же места.

1. Сложите первые координаты: 1 + (−2) + 4 = 3.
2. Сложите вторые координаты: 2 + 1 + 0 = 3.
3. Сложите третьи координаты: 0 + 3 + (−1) = 2.

Полученные числа записывают в прежнем порядке — по первой, второй и третьей координатным осям. Такой результат соответствует вектору пространственной диагонали, если исходные векторы рассматривать как рёбра из общего начала. Ответ: a + b + c = (3; 3; 2).

Задача 3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ выразите вектор AC₁ через векторы AB, AD и AA₁. Из вершины A выходят три ребра: AB, AD и AA₁, поэтому они задают три направления параллелепипеда. Вершина C₁ противоположна A, а значит, отрезок AC₁ является нужной пространственной диагональю.

1. Сопоставьте векторам AB, AD и AA₁ три ребра, исходящие из A.
2. Примените правило параллелепипеда: диагональ из A к противоположной вершине равна сумме векторов этих рёбер.

Искомый вектор начинается в общей точке A и заканчивается в вершине C₁, поэтому направление диагонали совпадает с направлением суммы. Запись не зависит от порядка сложения трёх векторов. Ответ: AC₁ = AB + AD + AA₁.

Типичные ошибки

Проводят диагональ к вершине, которая не противоположна общей начальной точке. Такое случается, если ориентироваться только на близость вершин на рисунке, а не на направления трёх рёбер. Проверьте, что из выбранной общей вершины выходят все исходные векторы и что диагональ начинается именно там.

Складывают длины рёбер вместо векторов. Так делают, когда забывают, что у вектора есть не только длина, но и направление: даже длинные рёбра могут давать перемещения в разные стороны. Проверить себя можно по координатам либо по построению: сумма должна учитывать все направления слагаемых, а не только их длины.

Применяют правило к векторам, которые не имеют общего начала. Причина обычно в том, что исходное расположение на чертеже принимают за обязательное, хотя векторы можно параллельно переносить. Перед построением перенесите их к одной точке и убедитесь, что длина и направление каждого сохранились.

Путают пространственную диагональ с диагональю одной из граней. Диагональ грани соединяет противоположные вершины только параллелограмма и учитывает два направления, поэтому она выражает сумму двух векторов. Для проверки посчитайте, сколько векторов-рёбер выходят из общей вершины: если их три, нужна диагональ всего параллелепипеда.

Связь с другими темами

Для работы с правилом параллелепипеда нужно знать, что такое вектор, равные векторы и параллельный перенос. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому перенос позволяет совместить их начала без изменения самих векторов. Также пригодятся правила сложения двух векторов — треугольника и параллелограмма: на них основано построение пространственной диагонали.

Правило используют в задачах на векторы в пространстве, когда требуется объединить три перемещения. Оно также связывает геометрическое сложение с координатным способом: координаты суммы находят сложением соответствующих координат слагаемых. Это даёт способ проверить построение или найти результат без чертежа.

Что запомнить

• Три складываемых вектора приводят к общему началу.
• Векторы служат рёбрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины.
• Сумма трёх векторов изображается диагональю из их общего начала.
• Направление вектора суммы — от общей вершины к противоположной.
• Координаты суммы равны суммам соответствующих координат слагаемых.