"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Компланарными называют векторы, представителей которых можно расположить в одной плоскости. Это понятие помогает описывать направления в пространстве и выражать один вектор через другие. Два неколлинеарных вектора с общим началом задают плоскость, а каждый вектор этой плоскости можно представить как сумму их числовых кратных. Такое разложение существует и единственно: коэффициенты показывают, сколько каждого из двух направлений содержится в данном векторе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Компланарные векторы — векторы, представители которых можно расположить в одной плоскости. Представитель — это конкретная стрелка, изображающая вектор, а сам вектор можно переносить параллельно. Определение нужно, чтобы говорить о взаимном расположении векторов в пространстве, не привязываясь к месту, где нарисованы стрелки.
Некомпланарные векторы — векторы, представители которых нельзя расположить в одной плоскости. Например, три направления в пространстве могут выходить из одной точки и не укладываться в общую плоскость. Понятие помогает отличать плоское расположение векторов от пространственного.
Разложение вектора по двум векторам — представление его в виде суммы произведений этих векторов на числа. Если заданы векторы a и b, разложение записывают так: c = x·a + y·b. Такая запись показывает, как получить c, изменяя длину и, при отрицательном числе, направление векторов a и b.
Коэффициенты разложения — числа, на которые умножают заданные векторы при таком представлении. В записи c = x·a + y·b коэффициентами являются x и y. Они указывают, какой вклад в итоговый вектор вносит каждое из двух заданных направлений, поэтому при разложении важно не перепутать коэффициенты местами.
Для проверки компланарности удобно перенести все векторы так, чтобы их представители начинались в одной точке. Перенос не меняет длину и направление вектора, а значит, не меняет сам вектор. Поэтому вопрос о том, можно ли расположить векторы в одной плоскости, равносилен вопросу о том, лежат ли представители с общим началом в некоторой плоскости.
Два неколлинеарных вектора с общим началом направлены по разным прямым. Эти прямые пересекаются в начале векторов, а через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Именно поэтому такие векторы не просто могут лежать в одной плоскости: они определяют её без неоднозначности. Если же направления совпадают или противоположны, прямые не задают плоскость единственным образом.
Любой вектор, компланарный двум неколлинеарным векторам a и b, можно представить как сумму их числовых кратных. Векторы a и b задают плоскость, а вектор c лежит в ней, поэтому его можно получить, перемещаясь по двум заданным направлениям. Числа при a и b задают, насколько далеко и в какую сторону нужно двигаться вдоль каждого направления; так получается запись c = x·a + y·b.
Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно. Допустим, один и тот же вектор записан как x·a + y·b и как x₁·a + y₁·b. После переноса слагаемых получаем (x − x₁)·a + (y − y₁)·b = 0; поскольку a и b неколлинеарны, ненулевые кратные не могут взаимно уничтожиться. Следовательно, x = x₁ и y = y₁, то есть коэффициенты совпадают.
Если заданные векторы коллинеарны, они направлены вдоль одной прямой, даже если один из них обращён в противоположную сторону. Их числовые кратные тоже будут направлены вдоль этой прямой, а их сумма не выйдет за пределы этого направления. Поэтому они не задают плоскость и по ним нельзя разложить произвольный вектор этой плоскости: получится представить лишь векторы, коллинеарные заданным.
| Условие | Два неколлинеарных вектора | Два коллинеарных вектора |
|---|---|---|
| Какую фигуру задают векторы | Единственную плоскость | Одно направление, прямую |
| Какие векторы можно разложить | Любой вектор этой плоскости | Только векторы вдоль заданного направления |
| Единственность коэффициентов | Коэффициенты единственны | Для представимого вектора коэффициенты, вообще говоря, не единственны |
| Запись разложения | c = x·a + y·b | Такую запись можно получить лишь для векторов вдоль общей прямой |
Сначала проверьте, коллинеарны ли заданные векторы: от этого зависит, какие векторы можно разложить. Если они неколлинеарны, плоскость задана однозначно, а коэффициенты разложения единственны. При коллинеарных векторах нельзя применять это утверждение ко всем векторам плоскости.
Даны два неколлинеарных вектора с общим началом. Объясните, почему они задают плоскость. Нужно связать условие о направлениях с известным свойством прямых. Важно, что общий конец у векторов не требуется: достаточно общего начала.
Ответ: два неколлинеарных вектора с общим началом задают единственную плоскость, потому что их прямые пересекаются.
Векторы a и b неколлинеарны, а вектор c компланарен с ними. Запишите c как линейную комбинацию a и b и поясните, почему такое представление существует. Здесь линейная комбинация — сумма числовых кратных заданных векторов. Используем, что a и b задают плоскость, в которой находится и c.
Ответ: c = x·a + y·b, где x и y — единственные коэффициенты разложения.
В одной плоскости заданы неколлинеарные векторы a и b. Известно, что c = 2a − 3b и d = −a + 4b. Найдите коэффициенты разложения вектора c + d по векторам a и b. Не нужно заново искать направления или длины: достаточно сложить данные выражения. При этом складываем отдельно коэффициенты при a и при b.
Ответ: коэффициент при a равен 1, коэффициент при b равен 1.
Ошибка: считать векторы компланарными только потому, что нарисованные стрелки лежат на одном плоском листе. Так думают, поскольку рисунок сам по себе двумерен, но он может не передавать пространственное расположение. Проверяйте не место исходных стрелок, а возможность перенести их параллельно и расположить в одной плоскости.
Ошибка: утверждать, что любые два вектора однозначно задают плоскость. Это верно только для неколлинеарных векторов: коллинеарные задают общее направление, но через одну прямую проходит много плоскостей. Перед выводом проверьте, что направления векторов не совпадают и не противоположны.
Ошибка: путать компланарность трёх векторов с их коллинеарностью. Компланарные векторы могут иметь разные направления, если их представители помещаются в одну плоскость. Для самопроверки спросите, требуется ли всем векторам лежать на одной прямой или достаточно одной плоскости.
Ошибка: считать разложение по двум векторам единственным, не проверив, что они неколлинеарны. Если векторы коллинеарны, один и тот же вектор вдоль их общего направления иногда можно получить разными сочетаниями кратных. Сначала установите, задают ли векторы плоскость; только для неколлинеарных применяйте теорему о единственности.
Для работы с компланарными векторами нужны правила сложения векторов и умножения вектора на число. Они позволяют строить сумму числовых кратных и понимать, как перенос вектора сохраняет его направление и длину. Поэтому полезно уверенно выполнять эти действия до изучения разложения.
Разложение по двум векторам помогает перейти от геометрического описания к координатам в пространстве. Позже идея расширяется: по трём некомпланарным векторам можно разложить любой вектор пространства. Условия о неколлинеарности или некомпланарности обеспечивают наличие нужных независимых направлений.
Что значит, что векторы компланарны?
Это значит, что представителей этих векторов можно расположить в одной плоскости. Их исходные стрелки не обязаны изначально лежать в этой плоскости: вектор можно параллельно перенести, не меняя его длины и направления.
Как проверить, компланарны ли векторы?
Представьте векторы с общим началом и проверьте, можно ли провести через них одну плоскость. Если один из векторов можно получить в этой плоскости из двух других, складывая их числовые кратные, то он компланарен с ними.
Почему два неколлинеарных вектора задают плоскость?
Их представители с общим началом направлены по разным, не совпадающим прямым. Через эти две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, поэтому она однозначно определяется обоими векторами.
Можно ли разложить любой вектор по двум коллинеарным векторам?
Нет, произвольный вектор плоскости так разложить нельзя. Коллинеарные векторы задают только одно направление, поэтому их числовые кратные могут дать лишь вектор вдоль этого направления.
Почему разложение по двум неколлинеарным векторам единственно?
Если бы два набора коэффициентов давали один и тот же вектор, их разность дала бы нулевую сумму кратных двух неколлинеарных векторов. Это возможно только при нулевых коэффициентах, поэтому оба набора совпадают.
43. Компланарные векторы
