§ 3. Компланарные векторы

Определения и обозначения

Компланарные векторы — векторы, которые можно отложить от одной точки так, чтобы они лежали в одной плоскости. Векторы изначально могут быть расположены в разных местах: их переносят параллельно самим себе, не меняя длину и направление. Это определение позволяет сравнивать векторы и проверять, можно ли поместить их в одну плоскость.

Неколлинеарные векторы — векторы, не лежащие на одной прямой. Если отложить их от общего начала, они задают плоскость: направления двух векторов образуют две разные линии внутри неё. Это нужно для выбора пары векторов, через которую можно описать всю плоскость.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам — представление его в виде суммы этих векторов, умноженных на числа: c = x·a + y·b. Здесь a и b — заданные векторы, а c — тот, который раскладывают. Разложение превращает геометрическую задачу в поиск двух чисел.

Коэффициенты разложения — числа x и y, показывающие, во сколько раз и в каком направлении нужно взять каждый из двух векторов. Положительный знак сохраняет направление вектора, отрицательный меняет его на противоположное, а нулевой коэффициент исключает вектор из суммы. По этим числам можно точно описать положение результата относительно a и b.

Как это устроено

Векторы можно переносить параллельно себе, потому что в геометрии вектор задают длина и направление, а не место, где он нарисован. При таком переносе эти характеристики остаются прежними. Поэтому для проверки компланарности удобно отложить все векторы от одной точки и посмотреть, помещаются ли они в одной плоскости. Этот приём не изменяет сами векторы, а лишь делает их взаимное расположение наглядным.

Пусть два неколлинеарных вектора a и b отложены от общего начала O. Они направлены вдоль двух различных прямых, поэтому через эти прямые проходит ровно одна плоскость. Любую точку этой плоскости можно задать, двигаясь от O сначала вдоль одного направления, затем вдоль другого. Поэтому вектор к этой точке составляется из двух векторов с подходящими множителями: это и есть линейная комбинация x·a + y·b.

Для геометрического построения возьмём векторы x·a и y·b и отложим их от одного начала. Достроим на них параллелограмм: его диагональ равна сумме этих векторов, значит, она представляет c = x·a + y·b. Если коэффициент отрицательный, соответствующую сторону строят в противоположном направлении, а если равен нулю — эта сторона не даёт вклада. Так параллелограмм показывает, как две составляющие складываются в искомый вектор.

Разложение единственно при условии, что a и b неколлинеарны. Если бы один и тот же вектор можно было получить с двумя разными парами коэффициентов, вычитание равенств дало бы ненулевую комбинацию a и b, равную нулю. Для неколлинеарных векторов это невозможно: один не направлен вдоль другого, поэтому их вклады нельзя взаимно заменить. Геометрически одной точке плоскости соответствует только одна пара перемещений вдоль выбранных направлений.

Чтобы проверить компланарность трёх векторов, сначала убедитесь, что первые два неколлинеарны: тогда они задают плоскость. Третий вектор компланарен с ними, если его можно представить как c = x·a + y·b. В таком случае он лежит в плоскости, натянутой на a и b. Если представить его так нельзя, он не принадлежит этой плоскости, и три вектора некомпланарны.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Читайте таблицу как последовательность проверки: сначала выясните, задают ли первые два вектора плоскость, затем проверьте, лежит ли в ней третий. Запись через x и y подходит для любого вектора этой плоскости, причём пара коэффициентов только одна. Если первые два вектора коллинеарны, этот способ проверки применять нельзя.

Разбор задач

1. Разложение вектора в плоскости

Условие. Даны неколлинеарные векторы a и b. Объясните, почему вектор c, лежащий в той же плоскости, можно представить в виде c = x·a + y·b.

1. Отложим a и b от общего начала O. Поскольку они неколлинеарны, их направления задают плоскость.
2. Конец вектора c находится в этой плоскости. Из точки O к этому концу можно провести перемещение сначала вдоль направления a, затем вдоль направления b.
3. Длины и направления составляющих можно записать как x·a и y·b. По правилу сложения векторов их сумма равна c, поэтому c = x·a + y·b.
4. Так как a и b неколлинеарны, найденные коэффициенты определяются единственным образом.

Ответ. Представление существует по теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и единственно.

2. Диагональ параллелограмма

Условие. В параллелограмме ABCD выразите диагональ AC через векторы AB и AD.

1. Чтобы связать начало A с концом C, пройдём через вершину B: вектор AC равен сумме AB и BC.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены как векторы, поэтому BC = AD.
3. Подставим это равенство в сумму: AC = AB + BC = AB + AD.

Ответ. AC = AB + AD. Такой способ удобен: диагональ выражается через два вектора, выходящих из одной вершины.

3. Принадлежность точки плоскости

Условие. Точки A, B, C не лежат на одной прямой. Докажите, что точка M лежит в плоскости ABC, если AM = 2·AB − 3·AC, и объясните, почему коэффициенты разложения определяются однозначно.

1. Векторы AB и AC неколлинеарны, иначе точки A, B, C лежали бы на одной прямой. Поэтому они задают плоскость ABC.
2. По условию AM = 2·AB + (−3)·AC. Это линейная комбинация векторов, задающих плоскость.
3. Сумма таких векторов также лежит в этой плоскости, значит, вектор AM направлен от A к точке M внутри плоскости ABC. Следовательно, M принадлежит плоскости ABC.
4. Коэффициенты единственны, поскольку разложение по двум неколлинеарным векторам единственно. Если бы существовала другая пара чисел, она дала бы второе разложение того же вектора AM.

Ответ. M лежит в плоскости ABC; коэффициенты 2 и −3 определены однозначно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать компланарными векторы только потому, что на чертеже они нарисованы в одной плоскости, или, наоборот, требовать, чтобы они уже имели общее начало. Векторы можно параллельно переносить, сохраняя их длины и направления. Ошибка возникает из-за того, что рисунок воспринимают как часть определения. Проверьте себя: мысленно отложите векторы от одной точки и определите, лежат ли они в одной плоскости.

Нельзя разлагать вектор по двум коллинеарным векторам так же, как по двум неколлинеарным. Коллинеарные векторы лежат вдоль одного направления и не задают плоскость; к тому же коэффициенты разложения могут оказаться неединственными. Их выбирают по ошибке, когда замечают только наличие двух векторов, но не проверяют их направления. Перед разложением убедитесь, что векторы не параллельны.

Линейную комбинацию часто путают с простой суммой и считают, что коэффициенты могут быть только положительными. На самом деле множители x и y могут быть отрицательными или равными нулю: минус меняет направление, а ноль убирает слагаемое. Чтобы не ошибиться, проверьте запись c = x·a + y·b и истолкуйте знак каждого коэффициента. Сумма a + b — только частный случай, где оба коэффициента равны 1.

Неверно считать, что любые три вектора компланарны. Если первые два неколлинеарны, они задают плоскость, но третий может не лежать в ней. Такая ошибка появляется, когда условие о выражении третьего вектора через первые два упускают из виду. Для проверки найдите числа x и y в равенстве c = x·a + y·b: если их нет, векторы некомпланарны.

Связь с другими темами

Для работы с компланарными векторами нужно уметь находить сумму векторов, умножать вектор на число и проверять коллинеарность. Без этих действий нельзя записать линейную комбинацию или понять, задают ли два вектора плоскость. Поэтому полезно вспомнить, как складывают векторы по правилу треугольника и параллелограмма.

Разложение помогает доказывать геометрические утверждения и решать задачи о расположении точек и прямых в пространстве. Если положение точки описано через векторы, коэффициенты показывают, как она связана с выбранными направлениями. Это даёт способ обосновать принадлежность точки плоскости.

Тема подготавливает к координатному методу и дальнейшему изучению векторов в пространстве. Коэффициенты разложения связывают геометрическое построение с числовой записью вектора. Позже аналогичный подход позволит описывать векторы и проверять их взаимное расположение с помощью координат.

Что запомнить

• Компланарные векторы можно расположить в одной плоскости параллельным переносом.
• Два неколлинеарных вектора с общим началом задают плоскость.
• Любой вектор этой плоскости раскладывается по двум её неколлинеарным векторам.
• Разложение имеет вид c = x·a + y·b.
• Коэффициенты разложения по двум неколлинеарным векторам единственны.
• Три вектора компланарны, если третий выражается через два неколлинеарных первых.