3.1. Компланарные векторы

Определения и обозначения

Векторы называются компланарными, если их можно расположить так, чтобы они лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Слово «расположить» здесь существенно: вектор можно переносить параллельно самому себе, сохраняя его длину и направление. Поэтому компланарность зависит от направлений векторов, а не от места, где они первоначально нарисованы. Это определение позволяет говорить о плоскости, общей для нескольких векторов.

Линейной комбинацией двух векторов a и b называют выражение αa + βb, где α и β — числа. Сначала векторы умножают на свои числа, а затем складывают полученные векторы. Коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным нулю: отрицательный меняет направление, а нулевой убирает соответствующее слагаемое. Такая запись объединяет действия с векторами в одну формулу.

Разложить вектор c по двум заданным векторам a и b — значит представить его в виде c = αa + βb. Числа α и β называют коэффициентами разложения. Они показывают, какие доли или кратные исходных векторов нужно сложить, чтобы получить c. Разложение особенно полезно, когда требуется проверить, лежит ли направление вектора в плоскости, заданной двумя другими.

Как это устроено

Чтобы проверить компланарность, можно перенести все векторы параллельно самим себе и совместить их начала. При таком переносе вектор не меняется: его длина и направление остаются прежними. Если общие начала удалось поместить в одну плоскость вместе с векторами, исходные векторы компланарны. Этот приём превращает вопрос о векторах, нарисованных в разных местах, в вопрос о направлениях из одной точки.

Два неколлинеарных вектора с общим началом направлены по разным прямым. Через эти прямые проходит единственная плоскость: две различные пересекающиеся прямые определяют её. Если третий вектор параллелен этой плоскости, его начало можно поместить в плоскость переносом, и сам вектор окажется параллелен ей. Двигаясь в плоскости вдоль направлений первых двух векторов, можно получить любое такое направление, поэтому третий вектор выражается через них.

Теорема формулирует это так: вектор компланарен двум неколлинеарным векторам тогда и только тогда, когда представим как их линейная комбинация. Если c = αa + βb, каждый из векторов в правой части лежит в плоскости a и b, а их сумма тоже лежит в этой плоскости. Обратно, любой вектор в этой плоскости можно построить движением вдоль двух её независимых направлений. Значит, для проверки компланарности достаточно найти коэффициенты α и β и проверить равенство.

Коэффициенты описывают, насколько нужно растянуть или сократить каждое направление, прежде чем сложить векторы. Геометрически это похоже на движение по двум сторонам параллелограмма: одна часть пути задаётся αa, другая — βb. При неколлинеарных a и b разложение единственно. Действительно, если один и тот же вектор разложен двумя способами, то вычитание записей даёт линейную комбинацию a и b, равную нулю; при независимых направлениях оба коэффициента этой комбинации равны нулю.

Если два вектора коллинеарны, их направления совпадают или противоположны. Они лежат на одной прямой и не задают единственную плоскость: через эту прямую можно провести много плоскостей. Их линейные комбинации остаются на той же прямой, поэтому ими нельзя получить произвольный вектор плоскости. Кроме того, разные коэффициенты могут приводить к одному результату, так что такая пара не годится для однозначного разложения в плоскости.

Компланарность и разложение векторов

Сначала определите, неколлинеарны ли два выбранных вектора: от этого зависит, задают ли они плоскость. Затем сопоставьте положение третьего вектора с этой плоскостью или попробуйте представить его в виде линейной комбинации. Последняя строка напоминает, что одной коллинеарной пары недостаточно для разложения в плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Даны два неколлинеарных вектора a и b и вектор c = 2a − 3b. Объяснить, почему эти три вектора компланарны. Запись уже показывает, что третий вектор получен из первых двух действиями умножения на числа и сложения. Проверим, что это означает геометрически.

1. Векторы a и b лежат в плоскости, которую они задают, потому что неколлинеарны.
2. Вектор 2a также лежит в этой плоскости: умножение на число меняет длину или направление, но не выводит вектор из плоскости.
3. Вектор −3b лежит там же, поэтому сумма 2a − 3b тоже принадлежит этой плоскости.

Ответ: a, b и c компланарны.

Задача 2. В параллелепипеде выразить диагональ основания через два вектора, задающие его стороны, и установить компланарность этих векторов с диагональю. Обозначим векторы двух сторон, выходящих из одной вершины, через a и b, а диагональ — через d. Нужно проследить путь от начала диагонали к её концу по сторонам основания.

1. Пройдём сначала вдоль первой стороны: соответствующее перемещение задаёт a.
2. Затем пройдём вдоль второй стороны, параллельной второй стороне основания: перемещение задаёт b.
3. По правилу сложения векторов перемещение по диагонали равно сумме двух перемещений, поэтому d = a + b.

Ответ: d = a + b, следовательно, a, b и d компланарны: диагональ выражена линейной комбинацией векторов сторон.

Задача 3. Даны два неколлинеарных вектора a и b и вектор c, заданный относительно них: c = 4a + 2b. Определить, компланарны ли векторы, и найти коэффициенты разложения. Чтобы сделать вывод, достаточно проверить, что заданная запись действительно является комбинацией векторов a и b.

1. Сравним запись c = 4a + 2b с общим видом c = αa + βb.
2. Получаем α = 4 и β = 2. Оба коэффициента определены однозначно, поскольку a и b неколлинеарны.
3. Линейная комбинация a и b лежит в плоскости, которую они задают, поэтому c принадлежит этой плоскости.

Ответ: векторы компланарны; коэффициенты разложения равны 4 и 2.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые три вектора компланарными, потому что их можно нарисовать на одном листе. Лист показывает плоскость рисунка, но не доказывает, что реальные векторы в пространстве лежат в общей плоскости. Так ошибаются, перенося особенности чертежа на пространственную фигуру. Проверяйте компланарность по определению или через разложение по двум неколлинеарным векторам.

Компланарность не означает коллинеарность. Коллинеарные векторы направлены вдоль параллельных прямых, а компланарные могут иметь разные направления внутри одной плоскости. Путаница возникает из-за общей части слов и того, что коллинеарные векторы тоже компланарны. Для проверки спросите себя, требуется ли общая прямая или достаточно общей плоскости.

Нельзя применять теорему о разложении, не проверив, что исходные векторы неколлинеарны. Иначе они не задают единственную плоскость и не обеспечивают разложение произвольного вектора этой плоскости. Часто ошибку допускают, считая, что любая пара подходит как основание для разложения. Сначала проверьте, что направления не совпадают и не противоположны.

При неколлинеарных векторах коэффициенты разложения не произвольны. Если известен сам вектор, его представление через такую пару единственно, иначе вычитание двух разных разложений дало бы ненулевую комбинацию независимых направлений, равную нулю. Ошибка возникает, когда записанные числа не проверяют подстановкой. Сравните результат αa + βb с исходным вектором.

Связь с другими темами

Для изучения компланарности нужны понятия вектора, равных и коллинеарных векторов, а также правила сложения векторов и умножения вектора на число. Без этих действий нельзя понять смысл записи αa + βb. Позже разложение поможет описывать векторы с помощью координат и решать геометрические задачи в пространстве. Связь с планиметрией простая: два непараллельных направления на чертеже задают плоскость, как два неколлинеарных вектора в пространстве.

Что запомнить

• Компланарные векторы можно расположить в одной плоскости.
• Два неколлинеарных вектора задают плоскость.
• Вектор компланарен двум неколлинеарным векторам тогда и только тогда, когда выражается через них линейной комбинацией.
• Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно.
• Коэффициенты разложения — числа, умножающие соответствующие векторы.
• Коллинеарные векторы не образуют пару неколлинеарных направлений для такого разложения.