43. Компланарные векторы

Определения и обозначения

Компланарные векторы — векторы, которые можно расположить так, чтобы они лежали в одной плоскости. Например, векторы, нарисованные в разных местах, можно параллельно перенести и сравнить уже после переноса. Это понятие нужно, чтобы установить, можно ли рассматривать несколько векторов в пределах одной плоскости.

Неколлинеарные векторы — векторы, направления которых не совпадают и которые не параллельны одной прямой. Если совместить их начала, они будут направлены по разным прямым. Такие векторы позволяют задать плоскость и служат основой для разложения других векторов.

Линейная комбинация двух векторов — вектор вида x a + y b, где x и y — числа, а a и b — заданные векторы. Сначала векторы умножают на числа, а затем складывают. Так можно описать результат движения в двух выбранных направлениях.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам — представление его в виде линейной комбинации этих векторов: например, c = x a + y b. Числа x и y показывают, сколько раз и в какую сторону нужно взять каждое направление. Разложение помогает проверить компланарность и выполнять вычисления с векторами.

Как это устроено

Вектор можно параллельно переносить, не меняя его длину и направление. Поэтому его положение на чертеже не определяет, компланарен ли он другим векторам: существенны только его направление и длина. Если перенести несколько векторов так, чтобы они оказались в одной плоскости, их взаимное расположение как векторов сохранится. Значит, перенос даёт возможность проверять компланарность независимо от того, где векторы были изображены сначала.

Пусть даны два неколлинеарных вектора. Перенесём их так, чтобы начала совпали: концы тогда определяют два различных направления из одной точки. Через эти направления проходят две пересекающиеся прямые, а через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Поэтому два неколлинеарных вектора задают плоскость. Если направления параллельны, такой пары пересекающихся прямых нет, и плоскость по ней однозначно не определить.

В плоскости, заданной векторами a и b, любой вектор c можно получить, двигаясь сначала в направлении a, затем в направлении b. Это соответствует сложению двух составляющих: c = x a + y b. Такое представление возможно, потому что направления a и b неколлинеарны и вместе охватывают всю плоскость, а не только одну прямую. Числа x и y могут быть любыми подходящими коэффициентами, в том числе отрицательными или дробными.

Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно. Если бы один и тот же вектор можно было записать как x a + y b и как x₁ a + y₁ b с другими коэффициентами, после вычитания получилось бы 0 = (x − x₁)a + (y − y₁)b. При неколлинеарных a и b такая сумма равна нулевому вектору только тогда, когда оба коэффициента равны нулю. Значит, x = x₁ и y = y₁: двух разных разложений быть не может.

Чтобы проверить компланарность трёх векторов, выбери два неколлинеарных вектора, например a и b, и попробуй представить третий в виде c = x a + y b. Если коэффициенты x и y существуют, c лежит в плоскости, заданной a и b, поэтому все три вектора компланарны. Если представить c такой комбинацией нельзя, он не лежит в этой плоскости. Проверка требует именно неколлинеарной пары: только она задаёт плоскость однозначно.

Компланарность и разложение векторов

В таблице собраны ситуации, условие и вывод, который из него следует. Используй её как схему: сначала проверь, что выбранные два вектора неколлинеарны, затем сопоставь представление третьего с нужным выводом. Коэффициенты в линейной комбинации — числа, а не обязательно длины векторов.

Разбор задач

Задача 1

Даны два неколлинеарных вектора a и b и вектор c = 2a − 3b. Определите, компланарны ли a, b и c. Вид c уже показывает, как он связан с первыми двумя векторами: нужно понять, что означает такая запись для плоскости.

1. Векторы a и b неколлинеарны, поэтому они задают плоскость.
2. Запись c = 2a − 3b — линейная комбинация a и b с коэффициентами 2 и −3.
3. Значит, c выражается через векторы этой плоскости и также лежит в ней.

Ответ: векторы a, b и c компланарны.

Задача 2

Векторы a и b неколлинеарны, а c = 2a + b. Найдите коэффициенты разложения d = 3a − 2b + c по векторам a и b. Чтобы получить нужные коэффициенты, сначала подставим известное выражение для c, а затем соберём одинаковые составляющие.

1. Подставим c в выражение для d: d = 3a − 2b + (2a + b).
2. Сложим коэффициенты при a: 3 + 2 = 5; при b: −2 + 1 = −1.
3. Получим d = 5a − b. Это и есть разложение по a и b.

Ответ: коэффициент при a равен 5, коэффициент при b равен −1.

Задача 3

В параллелепипеде выразите диагональ пространства через три ребра, выходящие из одной вершины, и установите, компланарна ли она двум из этих рёбер. Обозначим векторы трёх рёбер из общей вершины через a, b и c. Рассматриваем невырожденный параллелепипед, поэтому эти направления не лежат в одной плоскости.

1. Сначала пройдём по двум рёбрам основания: по правилу параллелограмма соответствующий диагональный вектор равен a + b.
2. Затем добавим третье ребро c. Вектор диагонали пространства из той же вершины равен a + b + c.
3. Проверим, можно ли представить его только через a и b. Это потребовало бы выразить c через a и b, но три ребра невырожденного параллелепипеда не лежат в одной плоскости.

Ответ: диагональ пространства равна a + b + c и не компланарна выбранным двум рёбрам. Такой вывод будет верен для любой пары из трёх рёбер, выходящих из вершины.

Типичные ошибки

Считать компланарными только векторы, уже нарисованные в одной плоскости, — значит смешивать положение рисунка с самим вектором. Эту ошибку допускают, когда забывают о возможности переноса. Проверь себя: можно ли переместить векторы параллельно, сохранив длину и направление, и уложить их в одну плоскость? Если да, они компланарны.

Разлагать вектор по двум векторам, не проверив, что они неколлинеарны, нельзя: параллельная пара не задаёт плоскость однозначно. Часто предполагают, что любые два вектора автоматически дают два независимых направления. Перед разложением проверь, не параллельны ли выбранные векторы; если параллельны, используй другую пару.

Компланарность трёх векторов не означает, что они коллинеарны. Векторы могут иметь разные направления и лежать в одной плоскости, поскольку компланарность говорит о плоскости, а коллинеарность — об одном направлении прямой. Проверь, не подменяешь ли ты условие «в одной плоскости» условием «на одной прямой».

Коэффициенты разложения — не обязательно длины составляющих. Их нередко принимают за длины, потому что умножение вектора на число меняет его длину. Но отрицательный коэффициент задаёт противоположное направление, а дробный — часть вектора. Проверяй коэффициенты подстановкой в исходное равенство, а не сравнением с длинами.

Связь с другими темами

Для работы с компланарностью нужны понятия вектора, равных и противоположных векторов, а также правила сложения и умножения вектора на число. Разложение опирается на свойство параллелограмма: диагональ можно выразить через составляющие по двум сторонам. Позже представление векторов через выбранные направления поможет работать с координатами и исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей. Поэтому умение раскладывать векторы становится инструментом для решения пространственных задач.

Что запомнить

• Векторы компланарны, если их можно расположить в одной плоскости.
• Два неколлинеарных вектора задают плоскость.
• Любой вектор этой плоскости можно выразить через эти два вектора.
• Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно.
• Если один из трёх векторов выражается через два других неколлинеарных, то все три компланарны.
• Коэффициенты разложения — числа, а не обязательно длины векторов.