§ 3. Компланарные векторы

Определения и обозначения

Векторы называют компланарными, если их представители, отложенные от одной точки, лежат в одной плоскости. Представитель — это направленный отрезок, изображающий вектор. Определение позволяет рассматривать несколько векторов как расположенные в одной плоскости, даже если изначально они были нарисованы в разных местах.

Выражение x·a + y·b, где x и y — числа, называют линейной комбинацией векторов a и b. Сначала каждый вектор умножают на своё число, затем складывают полученные векторы. Так можно описывать новые направления через уже заданные.

Если вектор c представлен в виде c = x·a + y·b, говорят, что c разложен по векторам a и b. Это равенство показывает, как получить c сложением двух векторов, направленных вдоль a и b. Разложение удобно, когда нужно выразить один вектор через стороны фигуры или через выбранные направления.

Числа x и y называют коэффициентами разложения. Они показывают, во сколько раз берутся a и b; отрицательный знак означает, что соответствующее слагаемое направлено противоположно исходному вектору. Поэтому коэффициенты сообщают не только величину, но и направление каждого слагаемого.

Как это устроено

Чтобы проверить компланарность, удобно отложить все векторы от общего начала. Каждый вектор можно перенести параллельно самому себе: длина и направление при этом сохраняются, а значит, не меняется сам вектор. Поэтому выбор общей точки не влияет на то, окажутся ли представители в одной плоскости.

Пусть a и b неколлинеарны и имеют общее начало. Их представители не лежат на одной прямой, поэтому через них проходит ровно одна плоскость. Именно два разных направления позволяют задать всю эту плоскость: двигаясь вдоль одного направления, а затем вдоль другого, можно попасть в любую её точку.

Любой вектор c, компланарный a и b, можно представить как x·a + y·b. В плоскости его конец можно получить, переместившись от начала сначала вдоль направления a, а затем вдоль направления b. Эти два перемещения изображаются векторами x·a и y·b, а их сумма по правилу сложения векторов и есть c.

Геометрически разложение удобно строить с помощью параллелограмма. От общего начала отложите векторы x·a и y·b, а через конец каждого проведите прямую, параллельную другому вектору. Тогда диагональ из общего начала равна сумме этих векторов, то есть c; стороны параллелограмма показывают слагаемые разложения.

Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно. Если бы c = x₁·a + y₁·b и одновременно c = x₂·a + y₂·b, вычитание равенств дало бы (x₁ − x₂)·a + (y₁ − y₂)·b = 0. При неколлинеарных a и b такая сумма может быть нулевым вектором только при нулевых коэффициентах, поэтому x₁ = x₂ и y₁ = y₂.

Компланарность и разложение векторов

Сначала найдите в таблице нужную ситуацию, затем прочитайте результат вместе с условием: например, разложение возможно при заданных двух неколлинеарных векторах. Последний столбец помогает заметить ограничения и не перепутать условие задачи с выводом.

Разбор задач

Задача 1. Даны три вектора, представители которых отложены от одной точки и лежат в одной плоскости. Определить, компланарны ли они.

1. Сравним условие с определением: представители уже имеют общее начало.
2. Проверим расположение: все три представителя лежат в одной плоскости.
3. Следовательно, выполнены оба условия определения компланарности.

Ответ: векторы компланарны. Здесь не требуется выяснять, параллельны ли они друг другу: достаточно общей плоскости представителей.

Задача 2. Векторы a и b неколлинеарны, а c = 2a − 3b. Объяснить, почему a, b и c компланарны.

1. Так как a и b неколлинеарны, их представители с общим началом задают плоскость.
2. Запишем c как линейную комбинацию: c = 2·a + (−3)·b.
3. Векторы 2·a и −3·b направлены вдоль той же плоскости, что и a, b; их сумма c также лежит в ней.

Ответ: все три вектора компланарны. Минус перед 3 означает, что второе слагаемое направлено противоположно b.

Задача 3. В параллелепипеде выразить диагональ через два ребра, выходящие из той же вершины, и определить коэффициенты разложения.

1. Уточним, о какой диагонали идёт речь: через два ребра из вершины выражается диагональ грани, построенной на этих рёбрах. Пространственная диагональ всего параллелепипеда потребовала бы ещё третье ребро.
2. Обозначим рёбра из вершины векторы a и b, а диагональ грани — d.
3. По правилу параллелограмма диагональ равна сумме векторов сторон: d = a + b.
4. Сравнивая с d = x·a + y·b, получаем x = 1 и y = 1. Единственность следует из того, что соседние рёбра грани неколлинеарны.

Ответ: для диагонали грани d = a + b; коэффициенты разложения равны 1 и 1.

Типичные ошибки

Ошибка 1 — считать любые три вектора компланарными, потому что каждый из них можно нарисовать на какой-либо плоскости. Так рассуждают, забывая, что проверяют совместное расположение представителей. Перенесите все векторы к одному началу: если они не лежат в одной плоскости, компланарности нет.

Ошибка 2 — раскладывать вектор по двум векторам, не проверив, что они неколлинеарны. Коллинеарные векторы дают только одно направление, поэтому разложение может оказаться невозможным или иметь разные наборы коэффициентов. Сначала убедитесь, что заданные векторы не параллельны друг другу.

Ошибка 3 — перепутать порядок векторов в записи или потерять знак коэффициента. Это случается, когда знак минус воспринимают как часть записи, а не как указание направления; например, −b противоположен b. Подставьте разложение обратно и проверьте, что сложение именно этих слагаемых даёт исходный вектор.

Ошибка 4 — считать чертёж доказательством. Рисунок помогает увидеть параллелограмм, но он может быть неточным и сам по себе не обосновывает равенство векторов. Проверяйте рассуждение по правилу сложения векторов и свойствам параллелограмма.

Связь с другими темами

Для работы с компланарностью нужны сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, коллинеарность и правило параллелограмма. Эти знания помогают понять, как из нескольких направлений составляется новый вектор. Разложение пригодится при изучении координат в пространстве: координаты описывают коэффициенты относительно выбранных направлений. Оно также упрощает задачи о параллелепипедах, а компланарность позволяет сводить часть пространственных рассуждений к одной плоскости.

Что запомнить

• Компланарные векторы имеют представителей, лежащих в одной плоскости.
• Для проверки компланарности представителей откладывают от общего начала.
• Два неколлинеарных вектора задают плоскость.
• Вектор, компланарный двум неколлинеарным векторам, раскладывается по ним.
• Коэффициенты разложения — числа, которыми умножают заданные векторы.
• Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно.