42. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Умножением вектора a на число λ называют действие, результатом которого является вектор λa. Если a не нулевой и λ не равно нулю, длина произведения равна |λ|·|a|: модуль числа показывает, во сколько раз меняется длина, а знак задаёт направление. Например, 2a вдвое длиннее a, а −2a имеет такую же длину, но направлен в обратную сторону. Это определение помогает описывать изменение вектора без построения нового направления с нуля.

Если умножить нулевой вектор на любое число или любой вектор умножить на нуль, получится нулевой вектор: λ·0 = 0 и 0a = 0. У нулевого вектора длина равна нулю, поэтому изменение масштаба не может сделать его ненулевым. При λ = 0 длина произведения тоже обращается в нуль. Это правило нужно, чтобы отдельно учитывать случаи, в которых у произведения нет обычного направления.

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если один из них можно получить умножением другого на число: b = λa. При положительном λ векторы направлены одинаково, а при отрицательном — противоположно. Например, a и −3a коллинеарны, хотя их длины различаются. Такое определение позволяет проверять, лежат ли векторы на параллельных прямых, не сравнивая их координаты.

Как это устроено

Модуль множителя определяет масштаб изменения вектора. Если взять λ = 3, получится три одинаковые по длине копии исходного вектора, отложенные подряд в том же направлении; поэтому длина результата станет втрое больше. Если множитель равен ½, длина сократится вдвое. Отрицательный знак не влияет на длину, так как длина измеряется неотрицательным числом, а не направлением.

Знак λ отвечает за то, в какую сторону направлен результат. При λ > 0 исходный и полученный векторы смотрят в одну сторону, потому что число копий масштаба положительно и не переворачивает направление. При λ < 0 результат направлен обратно: знак «минус» меняет направление на противоположное. Чем больше |λ|, тем длиннее произведение, но знак по-прежнему определяет только сторону.

Построить λa можно, отложив от начала вектора a отрезок длиной |λ|·|a|. Если λ положительно, отрезок откладывают по направлению a; если отрицательно — по противоположному. Например, при λ = −2 нужно построить вектор в обратную сторону и вдвое длиннее a. Такой способ непосредственно переводит определение в геометрическое действие.

При умножении на 1 вектор не меняется: 1a = a, поскольку длина остаётся прежней и направление сохраняется. При умножении на −1 длина также не меняется, но направление становится противоположным, поэтому (−1)a — вектор, противоположный a. Эти случаи дают простой способ записать исходный и противоположный векторы через одно действие. При нулевом a оба результата, конечно, совпадают с нулевым вектором.

Распределительные свойства объясняются тем, что масштаб можно применить к каждому слагаемому отдельно: λ(a + b) = λa + λb. Если складывают числа-множители при одном и том же векторе, получается (λ + μ)a = λa + μa. Кроме того, последовательное умножение на μ, а затем на λ равносильно умножению на произведение чисел: λ(μa) = (λμ)a. Эти правила позволяют преобразовывать выражения, сохраняя значения всех векторов.

Как умножение на число изменяет вектор

Сначала найди строку, условие которой подходит к множителю и исходному вектору. Затем определи длину по модулю множителя, а направление — по его знаку. В последней строке достаточно заметить, что результат нулевой независимо от того, какой из двух множителей равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор a длины 3 см. Построить векторы 2a и −2a. Сначала выясним, что у обоих произведений одинаковый множитель по модулю, поэтому их длины совпадают. Различаться будет только направление, которое задаёт знак числа.

1. Вычислим длину каждого произведения: |2a| = |−2a| = 2·3 = 6 см.
2. Для 2a отложим от начала a вектор длины 6 см в направлении a.
3. Для −2a от той же начальной точки отложим вектор длины 6 см в направлении, противоположном a.

Ответ: оба вектора имеют длину 6 см; 2a сонаправлен с a, а −2a направлен противоположно. Проверка по определению проста: множитель 2 сохраняет направление, а множитель −2 разворачивает его.

Задача 2. Упростить выражение 3a − 2a + 4b − b. Здесь слагаемые с a и с b нужно собрать отдельно, потому что коэффициенты можно складывать только при одном и том же векторе. Знак перед вектором учитываем как часть коэффициента: −2a — это (−2)a, а −b — это (−1)b.

1. Перегруппируем слагаемые: (3a − 2a) + (4b − b).
2. Применим свойство (λ + μ)a = λa + μa к каждой группе: (3 − 2)a + (4 − 1)b.
3. Вычислим коэффициенты: 1a + 3b.
4. Так как 1a = a, запишем выражение короче.

Ответ: a + 3b. Группировка не меняет порядок и знаки слагаемых, а объединяет только коэффициенты при одинаковых векторах.

Задача 3. Выразить c через a, если c = −3a, и определить длину a, если длина c равна 12. Равенство уже показывает связь векторов: коэффициент −3 задаёт противоположное направление и увеличение длины втрое. Чтобы найти длину a, применим формулу длины произведения.

1. Из равенства c = −3a заключаем, что c выражен через a как противоположный ему вектор, увеличенный в три раза.
2. Запишем длину: |c| = |−3|·|a| = 3|a|.
3. Подставим |c| = 12: 12 = 3|a|, откуда |a| = 4.

Ответ: c = −3a; длина a равна 4. Коэффициент −3 сообщает направление и отношение длин, но не меняет направление самого вычисления: длины сравниваются через положительное число 3.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при отрицательном множителе длина произведения отрицательна. Так рассуждают, перенося знак числа на длину, хотя длина всегда неотрицательна; правильно писать |λa| = |λ|·|a|. Проверь себя: в результате вычисления длины не должно появиться число меньше нуля.

Иногда при λ < 0 оставляют направление прежним. Это происходит, если замечают только изменение масштаба и забывают, что знак задаёт сторону; отрицательный множитель разворачивает вектор. Для проверки сравни стрелки: у λa при отрицательном λ она должна смотреть противоположно стрелке a.

Запись длины как λ·|a| неверна при отрицательном λ, потому что она даёт отрицательное значение. Модуль множителя обязателен: например, длина −2a равна 2|a|, а не −2|a|. Проверка состоит в том, чтобы сравнить полученное значение с требованием неотрицательности длины.

При раскрытии скобок иногда меняют знаки или забывают умножить число на оба слагаемых. Свойство записывается строго так: λ(a + b) = λa + λb, поэтому множитель применяется отдельно к каждому вектору, а знак перед ним сохраняется. Подставь простые числа вместо коэффициентов и проверь, что ни одно слагаемое не потерялось.

Связь с другими темами

Для работы с умножением вектора на число нужны понятия вектора, его длины и направления, а также противоположного вектора. Если эти понятия знакомы, знак и модуль множителя можно понимать как отдельные сведения о направлении и масштабе. Умножение особенно полезно при разложении векторов по направлениям и доказательстве коллинеарности: пропорциональность одному вектору показывает, что другой ему параллелен. Свойства умножения также помогают упрощать выражения при сложении векторов и решать геометрические задачи.

Что запомнить

• Длина λa равна |λ|·|a|.
• При положительном λ направление вектора сохраняется.
• При отрицательном λ направление меняется на противоположное.
• Если λ = 0 или a = 0, произведение — нулевой вектор.
• 1a = a, а (−1)a — вектор, противоположный a.
• λ(a + b) = λa + λb.
• (λ + μ)a = λa + μa.