96. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Произведение вектора на число — вектор, коллинеарный исходному, длина которого равна произведению модуля числа на длину исходного вектора. Если вектор обозначен a, а число — k, результат записывают ka. Определение позволяет по одному числу и одному вектору задать новый вектор.

Положительный множитель — число, при умножении на которое направление ненулевого вектора сохраняется. Например, 2a направлен так же, как a, но вдвое длиннее. Это правило помогает строить вектор, увеличенный или уменьшенный без разворота.

Отрицательный множитель — число, при умножении на которое направление ненулевого вектора меняется на противоположное. Например, −a имеет ту же длину, что a, но направлен в другую сторону. Знак числа нужен, чтобы различать два возможных направления на одной прямой.

Нулевой множитель — число 0, при умножении на которое любой вектор превращается в нулевой вектор. У нулевого вектора длина равна нулю, поэтому направления у него нет. Это правило описывает случай, когда результат полностью исчезает.

Как это устроено

Чтобы определить результат умножения, отдельно рассматривают модуль числа и его знак. Модуль |k| показывает, во сколько раз изменится длина: |ka| = |k|·|a|. Знак отвечает за направление: при положительном k оно сохраняется, а при отрицательном меняется на противоположное. Такой порядок рассуждений помогает не смешивать длину и направление.

Если множитель больше единицы, длина увеличивается, потому что исходную длину умножают на число, превосходящее 1. Например, длина 3 см при умножении на 2 становится 6 см. Если 0 < k < 1, результат короче исходного: умножение на ½ оставляет половину длины. Направление в обоих случаях сохраняется, так как множители положительны.

Отрицательный множитель меняет направление потому, что результат должен лежать на той же линии, но идти в обратную сторону. Его длина при этом определяется не отрицательным числом, а его модулем: множитель −3 увеличивает длину в три раза и разворачивает вектор. Поэтому знак нельзя игнорировать, даже если длину уже нашли.

Из определения следуют три частных равенства. При умножении на 1 длина и направление остаются прежними, значит, 1·a = a; множитель −1 сохраняет длину, но меняет направление, поэтому (−1)·a = −a. Множитель 0 даёт длину 0, следовательно, 0·a = 0 — нулевой вектор.

Умножение согласуется со сложением: умножить сумму векторов на число — то же, что умножить каждое слагаемое и сложить результаты, то есть k(a + b) = ka + kb. Также (k + m)a = ka + ma: сумму чисел можно распределить по одному вектору. При последовательном умножении числа перемножают: k(ma) = (km)a. Эти правила позволяют преобразовывать выражения и считать их удобными шагами.

Результат умножения вектора a на число k

Сначала найдите строку, подходящую значению множителя, затем отдельно определите длину и направление. Для отрицательного числа при вычислении длины используйте его модуль. Если множитель равен нулю, результат сразу нулевой, независимо от исходного вектора.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор a длиной 6 см. Построить и охарактеризовать вектор 2a. Нужно учесть, что множитель положительный и больше единицы. Поэтому результат направлен так же, как a, а его длина увеличивается вдвое.

1. Отложите от выбранной точки луч в направлении вектора a.
2. Вычислите длину: |2a| = 2·6 = 12 см.
3. На луче отложите отрезок длиной 12 см и обозначьте его вектором 2a.

Ответ: вектор 2a имеет длину 12 см и направление, совпадающее с a. Множитель 2 не меняет направление, потому что он положительный. Длина стала больше, так как множитель превышает 1.

Задача 2. Дан вектор a длиной 8 см. Построить вектор −0,5a и найти его длину. Здесь одновременно действуют знак минус и множитель по модулю меньше единицы. Значит, новый вектор будет короче и направлен обратно.

1. Найдите длину по модулю множителя: |−0,5a| = 0,5·8 = 4 см.
2. Проведите прямую, параллельную линии вектора a, и выберите противоположное направление.
3. Отложите в этом направлении отрезок длиной 4 см и обозначьте его −0,5a.

Ответ: длина −0,5a равна 4 см, направление противоположно направлению a. Модуль числа отвечает за длину, а знак — за направление. Поэтому нельзя получать длину −4 см.

Задача 3. Доказать равенство 3(a + b) = 3a + 3b и использовать его, если a = (1; 2), b = (3; −1). Распределительный закон позволяет заменить умножение суммы на отдельные умножения. Координаты здесь записаны парами чисел: сначала первая координата, затем вторая.

1. По распределительному закону умножения вектора на число 3(a + b) = 3a + 3b. Это и есть требуемое равенство.
2. Сложите координаты: a + b = (1 + 3; 2 + (−1)) = (4; 1).
3. Умножьте результат на 3: 3(a + b) = (12; 3). Проверка: 3a = (3; 6), 3b = (9; −3), а их сумма равна (12; 3).

Ответ: равенство доказано, а при данных координатах 3(a + b) = (12; 3). Прямое вычисление и распределение множителя дают один результат. Проверка помогает заметить ошибку в знаке или координатах.

Типичные ошибки

При отрицательном множителе иногда сохраняют направление исходного вектора. Так происходит, если учитывают только модуль числа и забывают его знак. Проверьте знак множителя: при k < 0 вектор обязан быть направлен противоположно исходному.

Длину произведения ошибочно записывают как k|a|, из-за чего при k < 0 выходит отрицательное значение. Причина в смешении множителя и длины, хотя длина отрицательной быть не может. Для проверки используйте формулу |ka| = |k|·|a|.

При умножении на 0 иногда оставляют исходное направление или длину. Это неверно, потому что длина результата равна 0, а у нулевого вектора направления нет. Проверка проста: подставьте k = 0 в формулу длины и получите ноль.

Выражение 2a могут принять за сумму a + 2. Ошибка возникает из-за привычки считать умножение обычным числовым действием, но здесь число умножается на вектор, а не складывается с ним. Сверьте обозначения: 2a — вектор, а для сложения векторов используют, например, a + b.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия вектора, его длины, равных и противоположных векторов, а также сложения векторов. Умножение на число помогает записывать координаты вектора и раскладывать его по направлениям. Оно используется в задачах на параллелограмм и движение, а позднее — в координатном методе, уравнениях прямой и линейных комбинациях векторов. Понимание знака и модуля множителя пригодится при преобразовании таких выражений.

Что запомнить

• Произведение вектора a на число k обозначают ka.
• Длина произведения равна |ka| = |k|·|a|.
• При k > 0 направление ненулевого вектора сохраняется.
• При k < 0 направление ненулевого вектора меняется на противоположное.
• При k = 0 получается нулевой вектор.
• Выполняются равенства k(a + b) = ka + kb и (k + m)a = ka + ma.
• Равенство k(ma) = (km)a позволяет объединять последовательное умножение на числа.