42. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Произведением вектора a на число λ называют вектор λa, длина которого равна |λ|·|a|, а направление определяется знаком числа λ. Здесь |λ| — модуль числа, то есть его величина без знака. Такое определение позволяет менять длину вектора, не меняя его геометрическую основу — прямую, параллельную исходному вектору.

Если λ положительно, произведение λa сонаправлено вектору a, то есть направлено в ту же сторону. Его длина зависит от величины множителя: например, при λ = 2 она становится вдвое больше, а при λ = ½ — вдвое меньше. Это удобно, когда нужно получить вектор той же направленности, но другой длины.

Если λ отрицательно, вектор λa направлен противоположно вектору a. В частности, запись −a означает произведение вектора a на число −1: у этих векторов одинаковая длина и противоположные направления. Так обозначают вектор, противоположный данному, что помогает записывать разность векторов как сложение с противоположным.

Если множитель равен нулю, произведение 0a — нулевой вектор, длина которого равна нулю. Тот же результат получается при умножении любого числа на нулевой вектор. Этот случай нужен, чтобы правила умножения работали и тогда, когда направление определить нельзя.

Как это устроено

Чтобы построить λa, проводят прямую, параллельную вектору a, и откладывают на ней вектор длины |λ|·|a|. Если λ положительно, выбирают то же направление, что и у a; если отрицательно — противоположное. Так геометрическое построение отдельно учитывает величину множителя и его знак: первая меняет длину, второй — направление.

Длина произведения выражается формулой |λa| = |λ|·|a|. Длина всегда неотрицательна, поэтому отрицательное λ нельзя подставлять вместо длины с его знаком: знак минус описывает разворот вектора, а не отрицательное расстояние. Например, при λ = −3 длина результата равна 3|a|, но его направление противоположно a.

При λ = 1 получаем 1a = a, потому что длина и направление не меняются. При λ = −1 длина остаётся прежней, а направление разворачивается: (−1)a = −a. При λ = 0 длина результата равна нулю, поэтому получается нулевой вектор.

У умножения есть свойства, согласованные с обычными действиями над числами. Равенство λ(μa) = (λμ)a означает, что два последовательных изменения длины и направления можно заменить одним множителем. Равенство (λ + μ)a = λa + μa говорит, что сумму двух числовых множителей можно распределить по слагаемым-векторам; например, при противоположных множителях части векторов могут сократиться.

Ещё одно свойство — λ(a + b) = λa + λb: умножение суммы векторов на число равносильно умножению каждого слагаемого. Оно позволяет преобразовывать выражения и раскладывать векторы по частям. Если a ненулевой, то λa коллинеарен a — лежит на параллельной ему прямой; поэтому любой ненулевой вектор b, коллинеарный a, можно записать как b = λa. Модуль λ показывает отношение длин, а знак указывает, сонаправлены векторы или направлены противоположно.

Умножение вектора на число: направление и длина результата

Сначала найдите строку, которая соответствует условию задачи, и определите направление произведения по знаку множителя. Затем вычислите длину, используя модуль числа, а не само число со знаком. В последней строке учтено, что нулевой результат получается и при нулевом множителе, и при нулевом исходном векторе.

Разбор задач

Постройте вектор 2a, если длина вектора a равна 3 см.

1. Множитель 2 положителен, поэтому направление 2a совпадает с направлением a.
2. Вычислим длину: |2a| = |2|·|a| = 2·3 = 6 см. Значит, от начала вектора a нужно отложить вдоль параллельной ему прямой вектор длиной 6 см в ту же сторону.

Ответ: вектор 2a длиной 6 см, сонаправленный с a. Удвоение длины не меняет направление, потому что множитель положителен.

Вектор b = −3a, длина b равна 12 см. Найдите длину a и укажите взаимное направление векторов.

1. Запишем формулу для длины произведения: |b| = |−3a| = |−3|·|a|. Модуль множителя равен 3, а |b| по условию равно 12 см.
2. Получаем 12 = 3·|a|, поэтому |a| = 12 : 3 = 4 см. Знак минус не меняет вычисление длины, потому что длина определяется модулем множителя.
3. Так как b = −3a и множитель отрицательный, b направлен противоположно a. Его длина втрое больше, что согласуется с результатом: 12 см против 4 см.

Ответ: |a| = 4 см; векторы a и b направлены противоположно.

В треугольнике ABC точка M — середина BC. Выразите вектор AM через векторы AB и AC.

1. Чтобы попасть из A в M, можно сначала пройти из A в B, а затем из B в M: AM = AB + BM. Поскольку M — середина BC, вектор BM равен половине BC и направлен так же, как BC.
2. По правилу треугольника BC = BA + AC, а BA = −AB. Поэтому BM = ½(−AB + AC).
3. Подставим это выражение: AM = AB + ½(−AB + AC). Раскроем множитель по сумме: AM = AB − ½AB + ½AC = ½AB + ½AC.

Ответ: AM = ½AB + ½AC = ½(AB + AC). Получается, что вектор медианы направлен как сумма векторов AB и AC, взятая с коэффициентом ½.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при отрицательном множителе длина тоже становится отрицательной. Так можно решить, если спутать знак числа с величиной расстояния; длину проверяют по формуле |λa| = |λ|·|a|, и она неотрицательна. Например, при множителе −2 длина удваивается, а не становится отрицательной.

Ошибка: при λ < 0 оставить произведение направленным так же, как исходный вектор. Знак минус легко потерять, если смотреть только на длину; проверьте направление отдельно: отрицательный множитель всегда разворачивает ненулевой вектор. Можно представить, что вектор сначала строится на той же прямой, но откладывается в обратную сторону.

Ошибка: думать, что умножение всегда увеличивает длину. Это происходит только при |λ| > 1, тогда как при 0 < |λ| < 1 длина уменьшается; при |λ| = 1 она сохраняется. Перед вычислением сравните модуль множителя с единицей, чтобы проверить, правдоподобен ли результат.

Ошибка: забыть о случаях λ = 0 или a = 0 и получить ненулевой результат. Множение на ноль обнуляет любой вектор, а умножение любого числа на нулевой вектор тоже даёт нулевой вектор. Проверка простая: если один из множителей равен нулю, результат обязан иметь длину 0.

Связь с другими темами

Для работы с умножением вектора на число нужны понятия вектора, его длины, равных и противоположных векторов, а также правило сложения векторов. Они помогают понять, откуда берутся направление и длина произведения, и записывать сумму через геометрическое построение. Позже это действие понадобится при разложении векторов, описании коллинеарных векторов и решении задач на координаты. В координатах множитель применяется к каждой координате вектора, поэтому геометрические правила сохраняются и в вычислениях.

Что запомнить

• Длина произведения λa равна |λ|·|a|.
• При λ > 0 векторы λa и a сонаправлены.
• При λ < 0 векторы λa и a направлены противоположно.
• При λ = 0 произведение равно нулевому вектору.
• Для любого вектора a выполняется 1a = a и (−1)a = −a.
• Умножение на число распределяется относительно сложения векторов: λ(a + b) = λa + λb.
• Произведение чисел можно объединить в один множитель: λ(μa) = (λμ)a.