§ 3. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Произведение числа λ на вектор a обозначают λa. Это вектор, длина которого равна |λ|·|a|, а направление определяется знаком λ. Модуль числа показывает, во сколько раз изменяется длина, и помогает не путать её со знаком множителя. Такое обозначение позволяет описывать увеличение, уменьшение и разворот вектора одним действием.

Если λ > 0, то вектор λa сонаправлен с a, то есть направлен вдоль той же прямой в ту же сторону. Его длина равна λ·|a|. Например, 2a вдвое длиннее a, но не меняет его направление. Это правило нужно, когда требуется увеличить или уменьшить вектор без разворота.

Если λ < 0, то λa направлен противоположно вектору a, а его длина равна |λ|·|a|. Например, множитель −3 означает разворот в противоположную сторону и увеличение длины втрое. Направление меняет знак числа, а длина зависит от его модуля. Поэтому отрицательный множитель не означает отрицательную длину.

При λ = 0 произведение 0a является нулевым вектором: его длина равна нулю, и направления у него нет. Если же исходный вектор a сам нулевой, то λa остаётся нулевым при любом числе λ. Эти случаи показывают, что направление можно обсуждать только у ненулевого вектора. Нулевой вектор нужен, в частности, чтобы обозначать отсутствие перемещения.

Как это устроено

Чтобы построить λa, сначала смотрят на модуль множителя: он задаёт длину |λ|·|a|. Затем знак λ определяет, в какую сторону отложить получившийся вектор: при плюсе — как a, при минусе — наоборот. Так длина и направление задаются независимо друг от друга. Например, множитель −2 требует удвоить длину и развернуть вектор.

При ненулевом λ конец вектора λa лежит на той же прямой, на которой расположен a, поэтому векторы коллинеарны. Это следует из построения: меняется только длина вдоль исходной прямой и, возможно, сторона от начала. Если λ = 0, длина становится нулевой, и вместо направленного отрезка получается нулевой вектор. Таким образом, нулевой множитель — особый случай, а не обычное изменение направления.

Равенство λ(μa) = (λμ)a объясняется тем, что при двух умножениях длина сначала меняется в |μ| раз, а затем в |λ| раз, то есть всего в |λμ| раз. Если один из множителей отрицателен, происходит один разворот; если оба отрицательны — два разворота, которые возвращают исходное направление. При этом 1a = a: множитель 1 не меняет ни длину, ни направление. Эти правила позволяют объединять несколько последовательных умножений в одно.

Векторы λa и μa лежат вдоль одной прямой, поэтому их сумма определяется тем, в какую сторону и на какую длину направлен каждый. Если записать оба относительно a, результат имеет коэффициент λ + μ: λa + μa = (λ + μ)a. При коэффициентах разных знаков векторы направлены навстречу друг другу, поэтому меньшая длина вычитается из большей. Знак суммы показывает направление результата относительно a.

Любой вектор, коллинеарный ненулевому a, можно представить как λa. Для этого сравнивают длины: модуль λ равен отношению длины искомого вектора к |a|. Если направления совпадают, λ положителен, а если противоположны — отрицателен. Такое представление удобно тем, что вместо сравнения двух векторов можно работать с одним числом. Нулевой вектор соответствует λ = 0.

Умножение вектора a на число λ

Таблица помогает сразу определить длину и направление произведения. Сначала найдите подходящее условие в первом столбце, затем прочитайте результат в двух остальных. Строка a = 0 отдельно напоминает, что нулевой исходный вектор остаётся нулевым при любом множителе.

Разбор задач

Построение векторов 2a и −2a

Дан вектор a длины 3 см. Нужно построить два вектора с одинаковым модулем множителя, но разными знаками. Поскольку |2| = |−2|, длины получившихся векторов будут одинаковыми. Различаться будет только направление.

1. Отложите от выбранной точки вектор, сонаправленный с a, длиной 2·3 = 6 см. Это вектор 2a.
2. От той же точки проведите вектор длиной 6 см по прямой, параллельной a, но в противоположную сторону. Это вектор −2a.
3. Проверьте, что оба построенных вектора вдвое длиннее a, а направления у них противоположны друг другу.

В ответе 2a имеет длину 6 см и направление a, а −2a — длину 6 см и направление, противоположное a. Проверка по модулю и знаку множителя помогает заметить ошибку в построении. Например, если вектор −2a направлен так же, как a, знак учтён неверно.

Выражение вектора b через a

Вектор b противоположно направлен вектору a и в три раза длиннее. Требуется записать b как произведение числа на a. Отношение длин задаёт модуль коэффициента, а противоположное направление — его знак. Значит, коэффициент должен быть отрицательным.

1. Сравните длины: |b| = 3|a|, поэтому модуль искомого коэффициента равен 3.
2. Сопоставьте направления: b направлен противоположно a, следовательно, перед коэффициентом ставится минус.
3. Запишите вектор с найденным коэффициентом: b = −3a.

Ответ: b = −3a. Подстановка позволяет проверить результат: длина −3a равна 3|a|, а направление противоположно a. Оба условия задачи выполнены. Если бы b был сонаправлен с a, коэффициент был бы равен 3 без минуса.

Упрощение выражения

Упростим 3a − 2b + 4a, если b = −2a. Здесь встречаются векторы, выраженные через один и тот же вектор a, поэтому после подстановки можно сложить их коэффициенты. Важно сохранить знаки: знак минус перед 2b относится ко всему вектору b. Сначала заменим b, а затем аккуратно выполним вычисления.

1. Подставьте b = −2a: 3a − 2(−2a) + 4a.
2. Учтите, что минус на минус даёт плюс: 3a + 4a + 4a.
3. Сложите коэффициенты: (3 + 4 + 4)a = 11a.

Ответ: 11a. Получившийся коэффициент положителен, значит, результат сонаправлен с a, а его длина в 11 раз больше |a|. Такая проверка не заменяет вычисления, но помогает обнаружить ошибку со знаком. Если оставить b равным −2a без учёта знака перед 2b, результат окажется неверным.

Типичные ошибки

Первая ошибка — при λ < 0 оставлять направление a неизменным. Обычно помнят, что модуль задаёт длину, но забывают отдельно учесть знак; проверяйте, что минус разворачивает вектор на противоположное направление. Вторая ошибка — считать длину равной λ·|a| даже при отрицательном λ. Так делают, перенося обычное умножение чисел на длину вектора, но длина неотрицательна: всегда используйте |λ|·|a|.

Третья ошибка — при λ = 0 изображать вектор нулевой длины с направлением a. Причина в том, что нулевой вектор иногда мысленно принимают за очень короткую стрелку; проверка простая: у нулевого вектора направления нет. Четвёртая ошибка — неверно применять λa + μa = (λ + μ)a: забывают вынести общий a или теряют знак коэффициента. Перед сложением выпишите коэффициенты отдельно и проверьте сумму, например, заменив минус на явно отрицательное число.

Связь с другими темами

Для работы с произведением вектора на число нужны понятия вектора, его длины, направления и равенства векторов. Также важно уметь складывать и вычитать векторы, откладывать их от заданной точки и определять коллинеарность — расположение вдоль одной прямой или параллельных прямых. Эти навыки помогают строить произведения и проверять их направление. Позже умножение пригодится при разложении векторов по направлениям и в координатном методе, где векторные действия выражают через числа.

Что запомнить

• Длина λa равна |λ|·|a|.
• При λ > 0 вектор λa сонаправлен с a.
• При λ < 0 вектор λa противоположно направлен a.
• При λ = 0 произведение λa — нулевой вектор.
• Векторы a и λa коллинеарны.
• Для одного и того же вектора a выполняется λa + μa = (λ + μ)a.