2.3. Вычитание векторов. Противоположные векторы

Определения и обозначения

Вектор, противоположный вектору a, обозначают −a. У векторов a и −a равные длины, но противоположные направления: если один направлен вправо, другой — влево. Это не два одинаковых вектора, потому что направление у них различается. Такое обозначение позволяет записать вычитание через сложение.

Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают, поэтому его длина равна нулю. Направление у него не определено: нельзя указать, в какую сторону направлен отрезок нулевой длины. Вектор противоположен самому себе только тогда, когда он нулевой, ведь ненулевой вектор не может одновременно иметь два противоположных направления.

Разностью векторов a и b называют такой вектор, который при сложении с b даёт a; разность обозначают a − b. Иначе говоря, если обозначить её через c, то c + b = a. Это определение помогает понять, какой вектор нужно построить, и получить правило a − b = a + (−b).

Как это устроено

Чтобы построить −b, нужно отложить вектор, равный b по длине, но направленный в противоположную сторону. Можно начать построение из любой точки: положение вектора на плоскости не меняет его длину и направление. Длина сохраняется, потому что противоположность относится только к направлению. Если изменить ещё и длину, получится уже другой вектор, не противоположный b.

Вычитание a − b сводится к сложению a + (−b), поскольку разность по определению должна дать a после прибавления b. Вектор −b как раз отменяет действие b: сумма b и −b равна нулевому вектору. Поэтому к a присоединяют не сам b, а вектор, противоположный ему. Так определение разности согласуется с уже знакомым сложением векторов.

Построить разность можно по правилу треугольника. Сначала откладывают вектор a, затем от его конца откладывают вектор −b, сохраняя его длину и направление. Вектор от начала a до конца присоединённого −b и будет суммой a + (−b), то есть разностью a − b. Последовательное присоединение нужно, чтобы конец первого вектора стал началом второго.

Если a и b отложены от общего начала, разность строят непосредственно по их концам: проводят вектор от конца b к концу a. Чтобы проверить направление, обозначим этот вектор через c. Тогда, если начать с конца b и пройти по c, мы попадём в конец a; значит, b + c = a, а c = a − b. Если провести вектор наоборот, получится b − a.

У вычитания есть два простых частных случая. При a − a получается нулевой вектор, потому что к a прибавляется противоположный ему вектор −a. Вычитание нулевого вектора не меняет исходный: a − 0 = a, так как вектор −0 тоже нулевой и его прибавление не сдвигает результат. Эти случаи удобно использовать для быстрой проверки векторных равенств.

Противоположные векторы и вычитание векторов

В таблице можно сначала найти нужный случай, а затем сверить обозначение с геометрическим смыслом. При построении особенно полезно проверить, что именно изменяется: для противоположного вектора меняется направление, а для разности важно направление от конца b к концу a.

Разбор задач

Задача 1. Постройте вектор, противоположный данному вектору a. Нужно сохранить длину исходного вектора и изменить только его направление, иначе построенный вектор не будет противоположным.

1. Выберите точку, из которой удобно отложить новый вектор.
2. Измерьте длину a или перенесите её циркулем, чтобы новый вектор получился той же длины.
3. Проведите вектор в сторону, противоположную направлению a, и обозначьте его −a.

Ответ: полученный вектор равен a по длине и направлен противоположно ему.

Задача 2. Даны векторы a и b. Постройте разность a − b. По определению разность при сложении с b должна дать a, поэтому сначала заменим вычитание сложением с противоположным вектором.

1. Постройте вектор −b: сохраните длину b и разверните его направление.
2. Отложите вектор a, а от его конца последовательно отложите −b.
3. Соедините начало a с концом −b. Полученный вектор равен a + (−b), значит, это a − b.

Ответ: разность строится как сумма a и −b по правилу треугольника.

Задача 3. Векторы a и b отложены от одной точки. Объясните, как построить a − b по их концам, и проверьте, что прибавление b к результату даёт a. Общее начало позволяет сразу сравнить конечные точки векторов.

1. Обозначьте концы векторов a и b и проведите стрелку от конца b к концу a.
2. Назовите полученный вектор c. По направлению он переводит конец b в конец a, поэтому c = a − b.
3. Проверьте: если пройти сначала по b, а затем по c, итоговое перемещение будет от общего начала к концу a. Следовательно, b + c = a.

Ответ: a − b направлен от конца b к концу a; прибавление b к нему даёт a.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что противоположные векторы различаются длиной. Это происходит, если слово «противоположные» ошибочно связывают с тем, что один вектор должен быть короче другого. На самом деле меняется направление, а длины остаются равными. Проверьте построение, сравнив длины векторов и убедившись, что стрелки направлены в разные стороны.

Ошибка: при построении −b изменить длину b вместо направления. Так можно случайно получить вектор другой длины, хотя знак минус не означает уменьшение длины. Оставьте прежнюю длину и разверните стрелку на противоположную сторону. Для проверки мысленно совместите начала векторов: их концы должны оказаться на равном расстоянии от начала, но по разные стороны.

Ошибка: при вычитании b прибавить сам b. Такое действие соответствует сложению a + b, а не разности. Путаница возникает из-за того, что вычитание тоже записывают как сложение, но вторым слагаемым должен быть −b. Перед построением запишите a − b = a + (−b) и убедитесь, что направление b изменено.

Ошибка: при общих началах направить a − b от конца a к концу b. Так направлен вектор, противоположный искомой разности, то есть b − a. Чтобы проверить себя, начните с конца b: разность должна привести к концу a. Если стрелка ведёт в обратную сторону, переставьте её концы.

Связь с другими темами

Для построения разности нужны умения откладывать равные векторы и складывать их по правилу треугольника или параллелограмма. Эти действия уже позволяют понимать разность как сумму с противоположным вектором. При преобразовании векторных равенств такое представление помогает переносить слагаемые и проверять результат. В геометрических задачах разность выражает перемещение между концами векторов. Далее эти правила пригодятся при действиях с векторами в координатах и при доказательстве геометрических утверждений.

Что запомнить

• Векторы a и −a равны по длине и противоположны по направлению.
• Сумма противоположных векторов — нулевой вектор.
• a − b = a + (−b).
• При общих началах a − b направлен от конца b к концу a.
• a − a = 0.
• a − 0 = a.