"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Умножение вектора на число позволяет изменить его длину, а при отрицательном множителе — ещё и направление. Произведение λa имеет длину |λ|·|a|: модуль числа задаёт масштаб, а знак определяет, куда направлен результат. Это действие помогает сравнивать и преобразовывать векторы, упрощать выражения и доказывать геометрические утверждения. Главное — не путать знак множителя с длиной: длина всегда неотрицательна.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение вектора a на число λ — действие, результат которого обозначают λa. Это вектор длины |λ|·|a|, где |λ| — модуль числа, а |a| — длина исходного вектора. Если λ положительно, произведение направлено так же, как a; если отрицательно — противоположно. Такое действие позволяет менять размер вектора, не меняя его прямую.
Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону. Например, если смотреть вдоль их общей прямой, оба «смотрят» в одну сторону, хотя длины могут различаться. При умножении a на положительное число получается сонаправленный с ним вектор. Это понятие помогает точно описывать направление произведения.
Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны. При умножении ненулевого вектора на отрицательное число направление результата становится противоположным исходному. Например, −a противоположен a и имеет ту же длину. Это правило нужно учитывать при построении и сравнении векторов.
Если умножить вектор на ноль, получится нулевой вектор: 0a = 0. Его длина равна нулю, поэтому у него нет определённого направления. Нулевой множитель не сохраняет и не разворачивает направление исходного вектора, а полностью убирает его длину. Это отдельный случай, который нельзя описывать как обычное направление вдоль прямой.
Чтобы построить λa, сначала проводят прямую, параллельную вектору a (или используют ту же прямую). Затем откладывают от подходящей начальной точки отрезок длины |λ|·|a|. Если λ положительно, стрелку ставят в сторону a, если отрицательно — в обратную. Так длина и направление задаются двумя независимыми частями множителя: модулем и знаком.
Длина произведения равна |λ|·|a|, потому что число задаёт масштабирование: например, при λ = 3 длина становится втрое больше, а при λ = ½ — вдвое меньше. Модуль используется потому, что длина не может быть отрицательной. Знак числа не меняет размер отрезка, а только указывает, куда направить стрелку. Поэтому при λ = −2 длина удваивается, но направление разворачивается.
Три случая удобно различать по знаку множителя. При λ > 0 вектор увеличивается или уменьшается в |λ| раз и сохраняет направление, а при λ < 0 меняет направление на противоположное. При λ = 0 его длина становится нулевой, так что результатом служит нулевой вектор. Такой разбор предотвращает ошибки, когда минус ошибочно пытаются отразить на длине.
Если a ненулевой, произведение λa расположено на прямой, параллельной a; при λ = 0 это нулевой вектор. Причина в том, что умножение изменяет только длину и, возможно, сторону, но не задаёт нового наклона. Поэтому a и λa коллинеарны: они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это свойство полезно, когда нужно установить параллельность в геометрической задаче.
У умножения вектора на число есть свойства распределения и последовательного умножения. Равенство (λ + μ)a = λa + μa означает, что два множителя для одного вектора можно сначала сложить или применить отдельно и сложить результаты. Равенство λ(a + b) = λa + λb показывает, что общий множитель действует на каждое слагаемое-вектор. Наконец, λ(μa) = (λμ)a: два изменения длины и направления можно заменить одним умножением на произведение чисел.
| Случай или свойство | Результат | Направление и длина |
|---|---|---|
| λ > 0 | λa | Направление как у a; длина |λ|·|a| |
| λ < 0 | λa | Направление противоположно a; длина |λ|·|a| |
| λ = 0 | 0a = 0 | Нулевой вектор длины 0, направление не определено |
| Умножение на 1 и на −1 | 1a = a; (−1)a = −a | В первом случае вектор не меняется; во втором меняется направление, длина та же |
| Распределительность относительно сложения чисел | (λ + μ)a = λa + μa | Сумма коэффициентов для одного вектора равносильна сумме произведений |
| Распределительность относительно сложения векторов | λ(a + b) = λa + λb | Множитель применяется к каждому вектору в скобках |
| Последовательное умножение на числа | λ(μa) = (λμ)a | Множители перемножаются; итоговые длина и направление совпадают |
Сначала найдите строку, подходящую к знаку или виду выражения, затем отдельно проверьте длину и направление. В строках со свойствами смотрите, к каким именно слагаемым относится множитель. Например, знак минус меняет направление, а модуль коэффициента определяет масштаб.
Задача 1. Дан вектор a длины 3 см. Постройте векторы 2a и −a и укажите их длины и направления. Здесь важно сначала найти модуль каждого коэффициента, а потом отдельно учесть его знак. Так мы не перепутаем изменение размера с разворотом стрелки.
Ответ: |2a| = 6 см, направление как у a; |−a| = 3 см, направление противоположно a. Проверка проста: положительный множитель не разворачивает вектор, отрицательный разворачивает.
Задача 2. Упростите выражение 3a − 2a + 4b − b. В нём есть слагаемые с одинаковыми векторами, поэтому их можно сгруппировать. Используем распределительное свойство и учитываем, что вычитание вектора означает прибавление противоположного.
Ответ: a + 3b. Слагаемые с разными векторами нельзя объединить в один коэффициент без дополнительной информации о самих векторах.
Задача 3. Докажите, что для любых векторов a и b и чисел λ и μ выполняется λ(a + b) = λa + λb. Удобно сравнить координаты обеих частей, поскольку координатное представление позволяет проверить равенство векторов по каждой координате. Пусть a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), а λ — произвольное число.
Ответ: обе части имеют одинаковые координаты, поэтому λ(a + b) = λa + λb. Доказательство работает и для нулевых векторов или отрицательных λ, так как координатные правила умножения сохраняются.
При λ < 0 иногда оставляют стрелку в направлении исходного вектора. Так бывает, если учитывать только увеличение или уменьшение длины и забывать о знаке. Проверьте построение: отрицательный множитель должен развернуть стрелку, а прямую оставить параллельной исходной. Например, −a направлен противоположно a.
Другая ошибка — умножать длину на λ, а не на |λ|, из-за чего при отрицательном числе получают отрицательную длину. Знак коэффициента относится к направлению, тогда как длина — неотрицательная величина. Проверка: вычислите модуль произведения как |λ|·|a|. Если ответ меньше нуля, значит, знак учтён неправильно.
Иногда считают, что при умножении на ноль вектор сохраняет своё направление, хотя его длина становится нулевой. Но у нулевого вектора направление не определено, поскольку он не задаёт ненулевого перемещения. Проверьте результат по формуле: 0a = 0, а не вектор с прежней стрелкой. Не пытайтесь указывать его направление на чертеже.
При раскрытии скобок можно ошибочно записать λ(a + b) = λa + b. Ошибка возникает, когда множитель применяют только к первому слагаемому, хотя он относится ко всей сумме. Раскройте скобки по правилу: λ умножает каждый вектор внутри них, поэтому получается λa + λb. Для проверки подставьте, например, λ = 2: удвоиться должны оба слагаемых.
Для работы с умножением вектора на число нужно знать, что такое вектор и его длина, понимать равенство и противоположность векторов, а также уметь складывать векторы. Эти действия служат основой для преобразования выражений и построений. Умножение помогает разлагать векторы по двум направлениям и доказывать геометрические утверждения. В координатах оно особенно наглядно: каждую координату вектора умножают на одно и то же число.
Почему при умножении вектора на отрицательное число меняется его направление?
Отрицательный множитель задаёт движение по той же прямой, но в противоположную сторону. Поэтому вектор −a имеет ту же длину, что и a, но направлен противоположно.
Может ли длина произведения вектора на число быть отрицательной?
Нет. Длина не бывает отрицательной: она равна |λ|·|a|. Минус у числа λ влияет на направление вектора, а не на его длину.
Что получится, если умножить вектор на ноль?
Получится нулевой вектор: 0a = 0. У него длина равна нулю, и направление не определено.
Как построить вектор, противоположный данному?
Нужно отложить вектор на той же прямой и в том же масштабе, но в противоположную сторону. Это вектор −a: его длина равна длине a.
Можно ли умножать на число сумму двух векторов?
Да. Число умножают на каждое слагаемое отдельно: λ(a + b) = λa + λb. Это свойство помогает раскрывать скобки и упрощать векторные выражения.
2.3. Умножение вектора на число
