2.2. Сумма нескольких векторов

Определения и обозначения

Сумма нескольких векторов — вектор, полученный последовательным сложением векторов-слагаемых. Запись a + b + c означает, что к a прибавляют b, а затем к полученному вектору — c. Складывать можно и большее число векторов, а порядок слагаемых допустимо менять.

Правило многоугольника — способ построить сумму: векторы откладывают один за другим, совмещая конец каждого с началом следующего. Затем проводят вектор от начала первого слагаемого к концу последнего. Правило помогает наглядно найти общий результат нескольких перемещений.

Ломаная — последовательность отрезков, у которой конец каждого звена совпадает с началом следующего. Если звено направлено так же, как соответствующий вектор-слагаемое, оно изображает этот вектор. Поэтому последовательность векторов можно представить как путь по ломаной.

Замыкающий вектор — вектор от начала первого звена ломаной к концу последнего. Он изображает сумму векторов-слагаемых, расположенных вдоль звеньев. Это обозначение удобно, когда нужно сразу увидеть общий переход от начала пути к его концу.

Как это устроено

Сумму нескольких векторов определяют через повторное применение правила треугольника. Сначала складывают первые два вектора, затем к их сумме прибавляют третий и так далее. Такой способ работает, потому что каждое новое сложение добавляет к уже полученному перемещению ещё одно. В результате учитываются все слагаемые, а не только крайние.

Правило многоугольника получается, если переносить векторы параллельно самим себе. Первый вектор можно оставить на месте, а каждый следующий расположить так, чтобы его начало оказалось в конце предыдущего. Перенос сохраняет длину и направление вектора, поэтому слагаемое остаётся тем же самым. Соединённые таким образом звенья образуют путь, по которому удобно проследить сложение.

Замыкающий вектор равен сумме, потому что каждое звено показывает очередное перемещение. Если пройти путь целиком, промежуточные точки лишь отмечают смену одного перемещения другим, а общий результат определяется начальной и конечной точками. Поэтому переход напрямую от начала первого звена к концу последнего даёт тот же итог, что и сложение всех звеньев. Так геометрическая конструкция отражает последовательное сложение.

Ломаная может быть как незамкнутой, так и замкнутой. В первом случае её начало и конец различны, поэтому замыкающий вектор обычно ненулевой. Если путь замкнулся, начальная и конечная точки совпали, а вектор между ними является нулевым. Значит, сумма векторов, соответствующих звеньям замкнутой ломаной, равна нулевому вектору.

Начинать построение можно с любого слагаемого и располагать векторы в другом порядке. Переместительное свойство позволяет менять местами два слагаемых, а сочетательное — по-разному объединять их в группы. Поэтому при изменении порядка ломаная может выглядеть иначе, но общий результат сложения останется прежним. Для аккуратного построения достаточно не менять длину и направление каждого вектора.

Построение суммы нескольких векторов

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, что именно требуется построить: произвольную сумму или сумму для замкнутого пути. Затем расположите слагаемые по правилу многоугольника и найдите общий переход от начала к концу. При перестановке векторов проверьте, что ни один из них не развернули и не изменили по длине.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Даны три вектора a, b и c. Постройте их сумму. Чтобы получить результат, нужно изобразить все три перемещения подряд, а не просто соединить концы исходных векторов. Вектор можно переносить, если сохраняются его длина и направление.

1. Отложите вектор a от выбранной точки A.
2. От конца a отложите вектор b, а от конца b — вектор c. Так получится ломаная из трёх звеньев.
3. Проведите вектор от A к концу последнего звена. По правилу многоугольника он равен сумме a + b + c.

Ответ: искомую сумму изображает вектор от начала a до конца c после последовательного откладывания слагаемых.

Задача 2

Условие. Векторы a, b и c образуют стороны ломаной ABCD, направленные от A к D. Выразите вектор AD через эти векторы и постройте его. Здесь уже задана ломаная: нужно связать её звенья с перемещением из A в D. Каждый вектор соответствует одному последовательному переходу.

1. Звено AB изображает вектор a, звено BC — вектор b, а звено CD — вектор c.
2. Пройдите по ломаной от A через B и C к D. По правилу многоугольника общий переход от A к D равен сумме векторов звеньев.
3. Соедините точки A и D стрелкой, направленной от A к D. Этот вектор и есть искомый результат.

Ответ: AD = a + b + c; вектор AD строится от A к D.

Задача 3

Условие. Векторы a, b, c и d последовательно обходят замкнутый четырёхугольник. Требуется найти их сумму и обосновать ответ. Так как каждый вектор направлен вдоль очередной стороны, обход возвращает в начальную точку. Значит, весь набор перемещений не даёт общего смещения.

1. Расположите векторы по сторонам четырёхугольника в порядке обхода.
2. Проверьте, что конец последнего вектора совпал с началом первого: ломаная замкнута.
3. Замыкающий вектор соединяет совпадающие точки, поэтому он нулевой. По правилу многоугольника он равен сумме всех четырёх векторов.

Ответ: a + b + c + d = 0.

Типичные ошибки

Соединять только начало первого и конец последнего вектора, не откладывая слагаемые последовательно. Так можно провести вектор, который не учитывает перемещения по всем звеньям. Ошибку допускают, принимая правило многоугольника за простое соединение крайних точек исходных рисунков. Проверка: сначала постройте непрерывную ломаную из всех слагаемых и только потом проведите итоговый вектор.

Менять направление вектора при параллельном переносе. После переноса вектор может оказаться в другом месте, но его стрелка должна смотреть в ту же сторону. Направление иногда путают с положением отрезка на чертеже. Проверьте, что длина и направление каждого слагаемого сохранились.

Считать, что сумма зависит от порядка векторов. Из-за другого порядка ломаная действительно может изменить форму, но переместительное и сочетательное свойства сохраняют итог. Ошибка возникает, когда форму построенной ломаной принимают за сам результат. Для проверки сравните начальный и конечный переход: он должен изображать ту же сумму.

Приписывать ненулевую сумму замкнутой ломаной. При обходе контура начальная и конечная точки совпадают, так что общий переход между ними нулевой. Иногда забывают, что сумма определяется именно переходом от начала пути к концу. Совместите эти точки: если они совпадают, сумма равна нулевому вектору.

Связь с другими темами

Для работы с суммой нескольких векторов нужны понятие вектора, равные векторы, параллельный перенос и правила треугольника и параллелограмма. В координатной форме координаты суммы находят сложением соответствующих координат слагаемых. Правило многоугольника помогает понять геометрический смысл такого сложения, а позже пригодится при разложении векторов, доказательстве геометрических равенств и решении задач на перемещения.

Что запомнить

• Сумму нескольких векторов можно находить последовательным сложением.
• При построении по правилу многоугольника каждый следующий вектор откладывают от конца предыдущего.
• Сумма изображается вектором от начала первого слагаемого к концу последнего.
• Перенос вектора не меняет его длины и направления.
• Порядок и группировка слагаемых не меняют сумму.
• Сумма векторов замкнутой ломаной равна нулевому вектору.