41. Сумма нескольких векторов

Определения и обозначения

Суммой нескольких векторов называют вектор, полученный последовательным сложением данных векторов. Если даны векторы a₁, a₂, …, aₙ, их сумму записывают так: a₁ + a₂ + … + aₙ. Это обозначение показывает, что рассматривается общий результат всех слагаемых, а не только одного из них. Оно удобно, когда нужно выразить несколько последовательных перемещений одним вектором.

Правило многоугольника — способ построить сумму, последовательно откладывая векторы: начало каждого следующего совмещают с концом предыдущего. Если слагаемых два, получается обычное правило треугольника, а при большем числе векторов — ломаная из нескольких звеньев. Так правило сложения двух векторов распространяется на любое конечное число слагаемых. При построении каждое звено должно сохранять длину и направление соответствующего вектора.

Вектор, соединяющий начало первого отложенного вектора с концом последнего, задаёт сумму; его можно назвать замыкающим вектором построения. Он показывает прямой переход от начальной точки всей ломаной к конечной, в отличие от пути по её звеньям. Чтобы найти его, достаточно точно определить обе крайние точки. Если они совпали, замыкающий вектор — нулевой.

Правило параллелепипеда позволяет построить сумму трёх векторов с общим началом. Эти векторы откладывают от одной точки и считают рёбрами параллелепипеда, выходящими из этой вершины; диагональ из неё в противоположную вершину равна сумме. Способ нужен, когда три слагаемых уже приложены к одной точке. Он даёт наглядное построение суммы в пространстве.

Как это устроено

Правило сложения двух векторов можно повторить несколько раз. Сначала складывают первые два вектора, а затем к полученному результату прибавляют третий и так далее. При геометрическом построении это означает, что каждый следующий вектор откладывают от конца предыдущего. Поэтому правило многоугольника работает при любом конечном числе слагаемых.

Почему результатом служит отрезок с направлением от начала к концу ломаной? Представь, что векторы описывают перемещения: каждый переводит из одной точки в следующую. После первого перемещения оказываешься в точке, откуда начинается второе, а после всех шагов приходишь в конечную точку. Промежуточные точки лишь связывают путь, поэтому общий переход от первой точки к последней и есть сумма перемещений.

Порядок откладывания векторов можно менять, потому что вектор не привязан к конкретному месту: его разрешено параллельно переносить. При переносе сохраняются и длина, и направление, значит, ни одно слагаемое не становится другим вектором. Кроме того, сложение векторов обладает переместительным и сочетательным свойствами. Поэтому можно расположить звенья ломаной в ином порядке, а итоговый вектор останется прежним.

Для трёх слагаемых удобно сначала отложить все векторы от одной точки. Два из них задают параллелограмм, а третий задаёт направление третьего ребра параллелепипеда; переносами достраивают остальные рёбра. Диагональ из общей начальной точки соответствует сложению всех трёх векторов. Это следует и из правила многоугольника: диагональ соединяет ту же начальную точку с конечной точкой последовательной цепочки векторов.

Если два равных вектора направлены одинаково, их сумма имеет то же направление, а её длина вдвое больше длины каждого. У противоположных векторов одинаковые длины и противоположные направления, поэтому их сумма равна нулевому вектору. Аналогично, если последовательная ломаная замыкается, начальная и конечная точки совпадают, и сумма всех её векторов нулевая. Эти частные случаи помогают проверять построение.

Способы построения суммы векторов

В таблице сначала выбери строку по числу слагаемых или по особому условию задачи. Затем проверь, что способ построения подходит к расположению векторов: правило параллелепипеда требует общего начала. В любом случае итог определяют начальная точка всей цепочки и её конечная точка.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Постройте сумму трёх заданных векторов, последовательно откладывая их от концов друг друга. Нужно получить не длину пройденной ломаной, а вектор общего перемещения. Поэтому важно проследить цепочку от самого первого начала до самого последнего конца.

1. Обозначьте начало первого вектора точкой A и отложите его.
2. Перенесите второй вектор так, чтобы его начало оказалось в конце первого; затем так же приложите третий к концу второго.
3. Обозначьте конец третьего вектора точкой D и проведите вектор от A к D.

Решение. По правилу многоугольника полученный вектор AD равен сумме трёх векторов. Он соединяет крайние точки всей цепочки и потому описывает общий переход. Проверьте, что точка D — именно конец третьего, а не второго слагаемого. Ответ: сумма — вектор от начала первого вектора к концу третьего.

Задача 2

Условие. Даны три вектора с общим началом; требуется построить их сумму и указать её направление. Векторы задают три ребра, выходящие из одной вершины. Для ответа нужно найти противоположную вершину параллелепипеда.

1. Обозначьте общую начальную точку буквой O и отложите из неё все три вектора.
2. Достройте параллелепипед, проводя через концы векторов рёбра, параллельные двум другим соответствующим рёбрам.
3. Проведите диагональ из O к вершине, противоположной O.

Решение. Каждый вектор задаёт одно из направлений рёбер параллелепипеда, а диагональ учитывает перемещения по всем трём направлениям. Значит, она представляет сумму данных векторов. Направление суммы идёт от общей начальной точки к противоположной вершине. Ответ: диагональ параллелепипеда, выходящая из общего начала.

Задача 3

Условие. Векторы a, b и c при последовательном откладывании образуют замкнутую ломаную. Найдите a + b + c. Замкнутость означает, что после последнего перемещения мы вернулись в исходную точку. Поэтому искомый общий переход не имеет ни длины, ни определённого ненулевого направления.

1. Отложите a, затем от конца a отложите b, а от конца b — c.
2. Сравните конечную точку ломаной с началом вектора a.
3. Так как точки совпали, вектор от начала построения к его концу нулевой.

Решение. По правилу многоугольника сумма соединяет начало первого вектора с концом последнего. Здесь эти точки совпадают, следовательно, результат — нулевой вектор. Ответ: a + b + c = 0.

Типичные ошибки

Иногда соединяют начало первого вектора с концом предпоследнего, забывая последнее слагаемое. Так происходит, когда ломаную строят по частям и теряют из виду её конечное звено. Проверь себя: точка, к которой проведён итоговый вектор, должна быть концом именно последнего вектора.

При переносе вектора могут случайно изменить его длину или направление, например повернуть его вместе с листом или отложить от точки под другим углом. Тогда в цепочке окажется уже не исходное слагаемое, и сумма будет построена неверно. Сравни перенесённый вектор с исходным: они должны быть равны по длине, параллельны и направлены одинаково.

Сумму векторов иногда принимают за сумму их длин. Это неверно, потому что противоположные направления могут частично или полностью компенсировать друг друга. Ошибку помогает обнаружить простая проверка: равные противоположные векторы складываются в нулевой, хотя сумма их длин не равна нулю.

Для правила параллелепипеда берут векторы, приложенные к разным точкам, и сразу пытаются достроить фигуру. Без общего начала рёбра не выходят из одной вершины, поэтому диагональ может не соответствовать требуемой сумме. Сначала перенеси все три вектора к одной точке, сохраняя длины и направления, и только потом строй параллелепипед.

Связь с другими темами

Чтобы складывать несколько векторов, нужно знать определение вектора, а также понимать, когда векторы равны или противоположны. Построение опирается на правило сложения двух векторов и разрешённый параллельный перенос. Позже этот приём пригодится при разложении вектора по направлениям и в задачах на перемещения в пространстве. Правило параллелепипеда связывает сложение с геометрией пространственных фигур: векторы становятся его рёбрами, а сумма — диагональю.

Что запомнить

• Сумму нескольких векторов строят последовательным откладыванием слагаемых.
• Результат соединяет начало первого вектора с концом последнего.
• Порядок откладывания векторов не меняет их сумму.
• Для трёх векторов с общим началом сумму строят по правилу параллелепипеда.
• Если последовательная ломаная замыкается, сумма её векторов равна нулевому вектору.
• При переносе вектора сохраняют его длину и направление.