"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Сумма векторов описывает общее перемещение, которое получается после нескольких последовательных перемещений. Её строят по правилу треугольника или параллелограмма: в обоих случаях результатом служит вектор, соединяющий начало первого перемещения с концом последнего. Вычитание сводится к сложению с вектором противоположного направления. Эти правила помогают строить результирующие векторы и решать задачи, не завися от того, где именно изображены равные векторы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Суммой векторов a и b называют вектор, который получается при последовательном выполнении перемещений a и b; обозначают её a + b. Сначала выполняют одно перемещение, затем другое, а сумма показывает общий результат. Это обозначение позволяет описывать несколько перемещений одним вектором и применять к ним геометрические правила.
Правило треугольника — способ построить сумму двух векторов: начало второго совмещают с концом первого, а сумму проводят от начала первого к концу второго. Векторы оказываются как бы сторонами пути, а сумма — прямым результирующим перемещением. Такое построение удобно, когда перемещения выполняются одно за другим.
Правило параллелограмма — способ построить a + b, если векторы отложены от одной точки: на них строят параллелограмм, и его диагональ из общего начала является суммой. Диагональ показывает общий результат двух перемещений, выполненных из одной точки. Это правило удобно для сравнения направлений и построения суммы без последовательного переноса векторов.
Разность векторов a − b — это сумма вектора a и вектора, противоположного b: a − b = a + (−b). Вектор −b имеет ту же длину, что b, но направлен в обратную сторону. Поэтому вычитание можно строить по знакомым правилам сложения, заменив вычитаемый вектор на противоположный.
Представим, что точка сначала переместилась на вектор a, а затем — на вектор b. Чтобы увидеть общий результат, соединим начальное положение точки с её конечным положением: этот вектор и есть a + b. Он заменяет два последовательных перемещения одним, поэтому сумма полезна, когда нужно описать итог движения, а не каждый его этап.
Для построения по правилу треугольника вектор b переносят так, чтобы его начало совпало с концом a. Перенос не меняет самого вектора, потому что его задают длина и направление, а место изображения на плоскости не входит в его свойства. Если при переносе изменить длину или повернуть вектор, получится уже другое перемещение и сумма будет построена неверно.
Когда a и b имеют общее начало, можно достроить на них параллелограмм. Отложив от конца a вектор, равный b, и от конца b вектор, равный a, получим четвёртую вершину; диагональ из общей начальной точки ведёт к ней. Эта диагональ совпадает с результатом правила треугольника: оба построения соединяют начало первого перемещения с концом второго, только в параллелограмме равные векторы видны одновременно.
Перестановка слагаемых не меняет сумму: a + b = b + a. При построении параллелограмма стороны можно поменять ролями, но его диагональ из общего начала останется той же; то же видно из последовательных перемещений, если поменять порядок, сохранив направления и длины шагов. Поэтому итоговое перемещение одинаково, хотя промежуточный путь может выглядеть по-разному.
Чтобы вычесть b из a, сначала заменяют b на противоположный ему вектор −b, а затем складывают: a − b = a + (−b). После этого используют правило треугольника или параллелограмма, как при обычном сложении. Если концы a и b совпадают, разность направлена от начала b к началу a: именно такой вектор при добавлении к b приводит к a.
| Действие или свойство | Как построить или записать | Результат |
|---|---|---|
| Сложение по правилу треугольника | Начало b совместить с концом a | Вектор от начала a к концу b |
| Сложение по правилу параллелограмма | Отложить a и b от общего начала; провести диагональ | Диагональ из общего начала |
| Переместительное свойство сложения | a + b = b + a | Порядок слагаемых не меняет сумму |
| Вычитание векторов | a − b = a + (−b) | Сумма a и противоположного к b вектора |
| Сложение противоположных векторов | a + (−a) | Нулевой вектор |
Выберите строку по действию, которое нужно выполнить, и проследите за тем, откуда начинается построение. При вычитании сначала определите направление противоположного вектора, а уже затем применяйте правило сложения. Таблица также помогает проверить результат по его направлению и геометрическому построению.
Даны два сонаправленных вектора длиной 3 см и 2 см; требуется построить их сумму и указать её длину и направление. Сонаправленные векторы лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону. Поэтому второе перемещение продолжает первое, а их длины складываются.
Ответ: длина суммы — 5 см, направление — то же, что у данных векторов. Здесь путь из двух шагов представляет собой одну прямую, поэтому результирующий отрезок объединяет оба шага. При других направлениях длины нельзя было бы просто сложить.
Теперь даны векторы a и b с общим началом; нужно построить a + b двумя способами. В первом способе можно мысленно выполнить b после a, перенести b к концу a и соединить начало a с концом перенесённого b. Во втором способе векторы становятся сторонами параллелограмма, а сумма — его диагональю из общего начала.
Ответ: a + b построен обоими правилами, результаты совпадают. Совпадение объясняется тем, что параллельный перенос сохраняет длину и направление, а значит, не меняет перемещение. Если концы диагонали и вектора по правилу треугольника не совпали, следует проверить перенос или направление стороны параллелограмма.
Пусть концы векторов a и b совпадают; требуется построить a − b и объяснить его направление. По определению разность равна a + (−b), так что её можно построить как сумму с противоположным вектором. При общем конце есть и короткий способ: соединить начала исходных векторов в нужном порядке.
Ответ: a − b направлен от начала b к началу a. Действительно, если обозначить общую конечную точку через C, то a = AC, b = BC, а a − b = AC + CB = AB. Такой порядок концов служит проверкой направления: перестановка начал дала бы вектор, противоположный разности.
При переносе вектора иногда меняют его длину или направление, стараясь уместить его в чертеже. Тогда перенос превращает исходный вектор в другой, поэтому построенная сумма уже не соответствует условию. Проверить себя можно, сравнив длину и направление вектора до и после переноса; должны совпадать оба свойства.
При сложении по правилу треугольника бывает, что оба вектора откладывают от одной точки. Это построение само по себе не показывает последовательный путь и не соединяет конец первого шага с началом второго. Чтобы исправить его, перенесите второй вектор к концу первого, сохранив его длину и направление.
При вычитании можно по ошибке сложить a с исходным b, хотя требуется a − b. Такая ошибка появляется, если знак минус воспринимают как обычное сложение и не меняют направление вычитаемого вектора. Перед построением запишите a − b = a + (−b) и проверьте, что второй вектор направлен противоположно b.
Ещё одна ошибка — считать, что длина суммы всегда равна сумме длин слагаемых. Это верно, например, для сонаправленных векторов, но при разных направлениях результирующий вектор короче пути из двух векторов. Проверка: сравните направление слагаемых; если они не сонаправлены, не складывайте длины без дополнительного обоснования.
Для работы с векторами нужно знать, что такое вектор, как определить его длину и направление и когда два вектора равны. Равенство позволяет переносить векторы при построении суммы, не меняя их смысла. Если эти свойства не различать, правила треугольника и параллелограмма будет трудно применять точно.
Сложение и вычитание связаны с координатами векторов: соответствующие координаты можно складывать или вычитать отдельно. Геометрическое построение показывает смысл результата, а координатный способ помогает получить его числами. Эти два подхода дополняют друг друга и позволяют проверять решение.
Правила сложения и вычитания применяются в задачах на векторы в планиметрии и стереометрии. С их помощью выражают один вектор через другие, описывают перемещения и обосновывают отношения между точками. Поэтому умение строить сумму и разность помогает не только выполнять чертежи, но и составлять доказательства.
Чем правило треугольника отличается от правила параллелограмма?
По правилу треугольника начало второго вектора совмещают с концом первого, а сумма соединяет начало первого с концом второго. По правилу параллелограмма векторы сначала откладывают от общего начала, затем достраивают параллелограмм; его диагональ из общего начала и есть сумма.
Почему при переносе вектора его считают тем же самым вектором?
Вектор определяется длиной и направлением, а не конкретным местом на чертеже. Поэтому его можно параллельно переносить, если длина и направление сохраняются.
Как построить вектор, противоположный данному?
Нужно построить вектор той же длины, но направить его в противоположную сторону. Если исходный вектор — это AB, противоположный ему — BA.
Почему вычитание векторов заменяют сложением?
Разность a − b по определению равна сумме a + (−b), где −b — вектор, равный b по длине и противоположный ему по направлению. Так вычитание можно построить теми же правилами, что и сложение.
Всегда ли длина суммы равна сумме длин слагаемых?
Нет. Такое равенство выполняется, например, если векторы сонаправлены. Если направления различаются, длина суммы зависит от угла между векторами и обычно меньше суммы их длин.
40. Сложение и вычитание векторов
