§ 3. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Суммой двух векторов называют вектор, полученный их последовательным откладыванием; её обозначают a⃗ + b⃗. Чтобы выполнить такое построение, конец первого вектора соединяют с началом второго. Это понятие позволяет описывать итог нескольких направленных перемещений одним вектором.

Правило треугольника — способ построения суммы, при котором начало второго вектора совмещают с концом первого. Суммой будет вектор от начала первого до конца второго. Правило удобно, когда векторы уже расположены последовательно или их требуется сложить по очереди.

Правило параллелограмма строит сумму двух векторов с общим началом: на них строят параллелограмм, а диагональ из общего начала является суммой. Её направление показывает общий результат двух перемещений. Такой способ особенно нагляден, когда векторы не лежат на одной прямой.

Разностью векторов a⃗ и b⃗ называют сумму уменьшаемого вектора a⃗ с вектором, противоположным вычитаемому: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗). Противоположный вектор −b⃗ имеет ту же длину, что b⃗, но направлен в другую сторону. Это определение превращает вычитание в уже знакомое действие сложения.

Как это устроено

Правило треугольника работает потому, что вектор можно параллельно переносить, не меняя его длины и направления. Поэтому второй вектор разрешается отложить от конца первого, даже если изначально он находился в другом месте. Соединяя начало первого с концом перенесённого второго, мы получаем итоговое перемещение по двум последовательным отрезкам пути.

Правило параллелограмма следует из правила треугольника. Пусть два слагаемых имеют общее начало и служат сторонами параллелограмма; противоположная сторона параллельна и равна первому вектору. Если мысленно перенести первый вектор к концу второго, он станет второй стороной пути по правилу треугольника. Полученный путь ведёт к той же вершине, что диагональ из общего начала, поэтому диагональ и есть сумма.

Сложение векторов перестановочно: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗. Геометрически при перестановке сторон параллелограмма его диагональ суммы не меняется, ведь общий начальный и конечный пункты остаются теми же. Сложение также сочетательно: (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗), поскольку оба способа описывают один путь через три последовательно отложенных вектора. Эти свойства позволяют менять порядок слагаемых и выбирать удобные группы.

Чтобы вычесть b⃗ из a⃗, сначала меняют направление b⃗ на противоположное, получая −b⃗, а затем складывают a⃗ и −b⃗. Основание такого приёма — определение разности как суммы с противоположным вектором. Например, направление вычитаемого вектора нельзя сохранять: тогда к a⃗ прибавился бы b⃗, а не −b⃗.

Если начала a⃗ и b⃗ совпадают, разность можно построить сразу: соединить конец b⃗ с концом a⃗, направив стрелку к концу a⃗. Проверка следует из равенства a⃗ = b⃗ + (a⃗ − b⃗): путь сначала проходит по b⃗, а затем по вектору от его конца к концу a⃗. Значит, этот вектор и есть добавка, превращающая b⃗ в a⃗.

Сложение и вычитание векторов

Сначала выберите строку по тому, как расположены векторы: общее начало или последовательное расположение. Для вычитания можно пользоваться любым из двух способов, но при построении через противоположный вектор обязательно разверните вычитаемый. Свойства в последнем столбце помогают проверить результат и упростить запись.

Разбор задач

Сонаправленные векторы длиной 3 см и 2 см

Нужно построить сумму по правилу треугольника и найти её длину и направление. Поскольку векторы сонаправлены, итоговое перемещение продолжается в ту же сторону. Здесь длины действительно складываются — это связано именно с совпадением направлений, а не только с правилом построения.

1. Отложим первый вектор длиной 3 см.
2. От его конца отложим второй вектор длиной 2 см в том же направлении.
3. Соединим начало первого вектора с концом второго; полученный вектор будет суммой.
4. Сложим длины участков: 3 + 2 = 5 см.

Ответ: сумма имеет длину 5 см и направлена так же, как оба слагаемых. Проверка проста: весь путь состоит из двух последовательных отрезков в одну сторону. Если бы направления были разными, сложить длины таким же способом было бы нельзя.

Сумма двух неколлинеарных векторов с общим началом

Пусть векторы a⃗ и b⃗ выходят из точки O и не лежат на одной прямой. Требуется показать сумму двумя способами. Построение полезно проверить через правило треугольника: так видно, что диагональ параллелограмма представляет тот же последовательный путь.

1. Проведём из O стороны, равные и параллельные заданным векторам a⃗ и b⃗.
2. Достроим параллелограмм; обозначим его противоположную общему началу вершину C.
3. Проведём диагональ от O к C. Это сумма a⃗ + b⃗ по правилу параллелограмма.
4. Для проверки перенесём b⃗ так, чтобы его начало оказалось в конце a⃗. Вектор от O к концу перенесённого b⃗ совпадёт с диагональю OC.

Ответ: OC⃗ = a⃗ + b⃗. Два способа дают одну диагональ, потому что описывают путь из O к одной и той же вершине. Не складывайте длины a⃗ и b⃗ автоматически: для неколлинеарных векторов длина диагонали обычно не равна сумме длин сторон.

Построение разности и упрощение выражения

Векторы a⃗ и b⃗ отложены от одной точки O. Сначала построим a⃗ − b⃗, а затем упростим (a⃗ + b⃗) − b⃗. Разделим действия: геометрическая разность определяется концами векторов, а упрощение выражения — заменой вычитания сложением противоположного вектора.

1. Обозначим концы a⃗ и b⃗ точками A и B соответственно.
2. Проведём стрелку от B к A. По построению BA⃗ = a⃗ − b⃗.
3. Перепишем выражение: (a⃗ + b⃗) − b⃗ = (a⃗ + b⃗) + (−b⃗).
4. По сочетательному и перестановочному свойствам сгруппируем b⃗ + (−b⃗). Эта сумма равна 0⃗, поэтому остаётся a⃗.

Ответ: разность — вектор от конца b⃗ к концу a⃗, а (a⃗ + b⃗) − b⃗ = a⃗. При проверке следите за направлением стрелки на первом шаге и за тем, что сокращаются противоположные векторы, а не любые два вектора.

Типичные ошибки

• При сложении по правилу треугольника иногда соединяют начала векторов или прикладывают второй к началу первого. Так происходит, если воспринимать рисунок как простое соединение стрелок, не учитывая порядок пути. Проверьте построение: конец первого должен совпадать с началом второго, а сумма идёт от самого первого начала к самому последнему концу.

• Считать, что длины любых слагаемых складываются, — неверно: это верно для сонаправленных векторов, а при других направлениях результат зависит от их расположения. Ошибка возникает из-за переноса правила сложения чисел на геометрические объекты. Проверьте направление стрелок; для векторов с общим началом сравните сумму с диагональю параллелограмма.

• При общем начале разность иногда строят от конца a⃗ к концу b⃗, получая противоположное направление. Путают потому, что воспринимают порядок вычитания как порядок соединения точек. Для самопроверки вспомните: a⃗ − b⃗ направлен от конца вычитаемого b⃗ к концу уменьшаемого a⃗.

• Если при вычитании оставить b⃗ направленным по-прежнему, вместо a⃗ − b⃗ получится сложение a⃗ + b⃗. Обычно это происходит потому, что в записи не замечают смену знака. Перед построением проверьте, что у −b⃗ та же длина, что у b⃗, но стрелка направлена в обратную сторону.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны понятия равных и противоположных векторов, а также умение переносить вектор параллельно самому себе без изменения длины и направления. Построение параллелограмма опирается на свойства параллельных сторон, а изображение векторов требует строить отрезки заданной длины и направления. Позже сложение и вычитание помогут работать с координатами вектора, раскладывать векторы по направлениям и решать геометрические задачи. Эти действия также позволяют заменять несколько последовательных перемещений одним результирующим вектором.

Что запомнить

• Сумму векторов можно построить по правилу треугольника.
• Для векторов с общим началом сумму строят как диагональ параллелограмма.
• Сложение векторов перестановочно: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗.
• Сложение векторов сочетательно: (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗).
• Разность векторов определяется равенством a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗).
• Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору.