§ 14. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Сумма векторов — вектор, который получают при сложении двух или нескольких векторов. Сумму векторов a и b записывают как a + b, а нескольких векторов — например, a + b + c. Это обозначение помогает кратко записывать последовательные перемещения и переходить от построения к вычислениям.

Правило треугольника — способ построить сумму двух векторов, отложив начало второго вектора в конец первого. Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго. Такое построение показывает общий результат двух перемещений, выполненных одно за другим.

Правило параллелограмма — способ построения суммы двух векторов с общим началом: сумма изображается диагональю параллелограмма, выходящей из этой точки. Векторы служат сторонами параллелограмма, а диагональ показывает совместное действие обоих. Это правило удобно, когда векторы уже отложены от одной точки.

Разность векторов — сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому. Её записывают a − b; запись означает a + (−b), где −b равен b по длине, но направлен в другую сторону. Так вычитание можно свести к уже знакомому построению суммы.

Как это устроено

Представь, что вектор показывает перемещение: сначала нужно пройти путь, заданный первым вектором, а затем — путь, заданный вторым. Поэтому начало второго переносят к концу первого, не меняя его длину и направление. Общее перемещение соединяет начальную точку первого пути с конечной точкой второго. Именно так получается правило треугольника, и потому переставлять векторы в самой цепочке нельзя, если требуется сохранить её порядок прохождения.

Если два вектора имеют общее начало, их концы вместе с этой точкой образуют две смежные вершины параллелограмма. Чтобы получить путь, который учитывает оба перемещения, сначала можно пройти по одной стороне, затем по параллельной другой стороне. Диагональ из общего начала приводит в ту же конечную точку, что и этот путь. Поэтому она изображает сумму, а не одна из сторон фигуры.

Хотя порядок соединения важен для правила треугольника, результат сложения от перестановки векторов не меняется. Для двух векторов с общим началом это видно по параллелограмму: диагональ из общей точки остаётся той же, даже если поменять стороны местами. Значит, a + b = b + a. На построении это позволяет начать с любого из двух векторов, если затем правильно приложить второй.

Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором: чтобы построить a − b, нужно построить a + (−b). Вектор −b имеет ту же длину, что и b, но направлен противоположно, поэтому его можно отложить от конца a по правилу треугольника. Тогда разность соединяет начало a с концом отложенного вектора −b. Если исходные векторы имеют общее начало, то a − b также можно представить как вектор от конца b к концу a.

Для трёх и более векторов правило треугольника применяют последовательно: каждый следующий вектор откладывают от конца предыдущего. Полученная цепочка называется правилом многоугольника, потому что её звенья могут составить стороны многоугольника. Сумма соединяет начало первого звена с концом последнего. Если цепочка замкнулась, её начало и конец совпали, поэтому суммарное перемещение равно нулевому вектору.

Сложение и вычитание векторов

Сравнивай в таблице не только рисунок, но и то, откуда начинается результат. Для вычитания сначала замени вычитаемый вектор противоположным, а затем воспользуйся способом сложения. В строке о нескольких векторах замкнутая цепочка означает, что результат — нулевой вектор.

Разбор задач

Сумма векторов AB и BC

Условие. Постройте сумму векторов AB и BC и укажите её начало и конец. Конец AB совпадает с началом BC, поэтому векторы уже расположены последовательно. Это как раз ситуация для правила треугольника.

1. Первым в цепочке идёт вектор AB: он начинается в A и заканчивается в B.
2. Из точки B отложен второй вектор BC, который заканчивается в C.
3. По правилу треугольника соединяем начало первого вектора с концом второго — получаем вектор AC.

Ответ. AB + BC = AC; начало суммы — точка A, конец — точка C. Такое равенство отражает путь из A в C через B.

Перпендикулярные векторы длиной 4 см и 3 см

Условие. Из одной точки отложены два вектора длиной 4 см и 3 см, угол между ними равен 90°. Постройте их сумму и найдите её длину. Общая точка позволяет применить правило параллелограмма, а прямой угол упрощает вычисление длины диагонали.

1. Обозначим общее начало O, а концы векторов — A и B. Построим параллелограмм со сторонами OA = 4 см и OB = 3 см.
2. Диагональ из точки O изображает сумму векторов OA и OB. Поскольку угол между сторонами прямой, треугольник с катетами 4 см и 3 см прямоугольный.
3. По теореме Пифагора длина диагонали равна √(4² + 3²) = √25 = 5 см.

Ответ. Длина суммы равна 5 см. Её направление задаётся диагональю параллелограмма из точки O.

Построение разности a − b

Условие. Даны векторы a и b, отложенные от общего начала. Нужно построить a − b и объяснить построение. Поскольку оба вектора начинаются в одной точке, удобно сначала увидеть, куда направлена разность относительно их концов.

1. Строим вектор −b: он равен b по длине, но направлен в противоположную сторону. Вычитание теперь записывается как a − b = a + (−b).
2. Для правила треугольника переносим −b так, чтобы его начало совпало с концом a. Вектор от общего начала a к концу перенесённого −b и будет искомой суммой.
3. Можно построить результат и непосредственно: если концы a и b обозначить A и B, то вектор от B к A равен a − b. Это следует из того, что прибавление перехода от B к A к вектору b приводит к a.

Ответ. Искомый вектор можно получить как a + (−b); при общем начале он направлен от конца b к концу a.

Типичные ошибки

Иногда второй вектор при сложении по правилу треугольника откладывают не от конца первого, а просто рисуют рядом. Тогда звенья не образуют последовательный путь, и соединяющий их отрезок не показывает общее перемещение. Ошибку допускают, когда ориентируются только на длины и не следят за точками начала и конца. Проверь себя: конец первого вектора должен совпасть с началом второго.

При сложении векторов с общим началом за результат иногда принимают одну из сторон параллелограмма. Сторона показывает только один из исходных векторов, а не их совместное действие. Так ошибаются, забывая, что второй вектор тоже должен учитываться. Проверь себя: сумма должна быть диагональю, выходящей из общего начала.

При вычитании некоторые оставляют вычитаемый вектор направленным по-прежнему и просто соединяют концы. Но вычитание требует прибавить противоположный вектор, поэтому направление b нужно заменить на направление −b. Ошибка появляется из-за сходства записи a − b с обычным вычитанием чисел. Проверь себя: у b и −b должны совпадать длины, а направления должны быть противоположными.

Можно правильно соединить векторы, но направить результат от конца цепочки к её началу. Это переворачивает искомый вектор и даёт вектор, противоположный сумме. Путаница возникает, если не различать точку, откуда начинается путь, и точку, где он заканчивается. При проверке проследи цепочку: результат идёт от начала первого вектора к концу последнего.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно знать, что такое вектор, где находятся его начало и конец, как измеряется его длина и чем отличаются противоположные векторы. Эти понятия позволяют выполнять построения и понимать, почему у противоположных векторов равные длины и разные направления.

Сложение и вычитание пригодятся при нахождении координат вектора: координаты результата можно получать сложением или вычитанием соответствующих координат. Те же действия описывают перемещения, например движение сначала в одном, а затем в другом направлении. Это связывает геометрические построения с задачами на движение.

Правило многоугольника помогает записывать равенства для цепочек векторов и доказывать геометрические утверждения. Если путь замкнут, сумма векторов вдоль его сторон равна нулю, что даёт удобную основу для рассуждения. Поэтому построение суммы встречается не только в вычислениях, но и в доказательствах.

Что запомнить

• Сумму двух векторов можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.
• По правилу треугольника сумма направлена от начала первого вектора к концу второго.
• При сложении векторов их можно менять местами.
• Вычитание вектора заменяется сложением с противоположным вектором.
• Замкнутая цепочка последовательно отложенных векторов даёт нулевой вектор.