§ 2. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху: например, AB⃗ начинается в точке A и заканчивается в точке B. Стрелка показывает направление от первой буквы ко второй. Такое обозначение помогает отличать вектор от обычного отрезка, для которого важна только длина.

Равные векторы — это векторы одинаковой длины и направления. Их начала могут находиться в разных точках: положение на чертеже не влияет на равенство. Поэтому вектор можно перенести параллельно самому себе и использовать в построении там, где это удобнее. Главное — не изменить ни его длину, ни направление.

Сумма векторов — вектор, который строят по правилу треугольника или правилу параллелограмма. Он показывает совместное действие двух направленных отрезков. Построение важно потому, что одних длин недостаточно: результат зависит ещё и от направлений слагаемых. Например, два вектора одинаковой длины могут дать разные суммы, если направлены по-разному.

Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Вектор, противоположный b, обозначают −b. Разность a − b — это сумма a и вектора −b. Такое определение позволяет выполнять вычитание тем же способом, что и сложение, — через построение нового вектора.

Как это устроено

Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, сначала оставляют первый вектор на месте. Второй переносят параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом первого. Затем соединяют начало первого вектора с концом перенесённого второго: полученный направленный отрезок и есть сумма. Так строится путь, который сначала проходит по первому вектору, а затем по второму.

Правило работает независимо от того, где векторы были нарисованы изначально, потому что перенос не меняет вектор. При параллельном переносе сохраняются длина и направление, а значит, сохраняется и то перемещение, которое он показывает. Поэтому второй вектор можно передвинуть к концу первого, не изменив результат сложения. Начальная точка и конечная точка суммы тогда показывают общее перемещение.

Если оба вектора отложены от одной точки, их можно сложить по правилу параллелограмма. Через конец каждого вектора проводят прямую, параллельную другому вектору, и получают параллелограмм. Его диагональ, выходящая из общего начала, задаёт сумму. Это тот же результат, что и по правилу треугольника: одну сторону параллелограмма мысленно переносят к концу другой.

Сумма не меняется при перестановке слагаемых: a + b = b + a. По правилу треугольника сначала можно пройти по a, затем по b, а можно начать с b и закончить a. В обоих случаях начальная и конечная точки общего перемещения совпадают. На чертеже это соответствует одной диагонали параллелограмма, независимо от того, какую сторону считают первым слагаемым.

Вычитание сводят к сложению, потому что для любого вектора можно построить противоположный. Чтобы найти a − b, сначала строят вектор −b: той же длины, что b, но с обратным направлением. Затем складывают a и −b по правилу треугольника или параллелограмма. Меняют направление именно вычитаемого вектора, а a оставляют без изменения.

Сложение и вычитание векторов

Сравнивайте действие и построение, а затем проверяйте, какая часть вектора должна совпасть с другой. В таблице собраны правила и их ключевые особенности.

Разбор задач

Даны векторы AB⃗ и BC⃗. Постройте их сумму. Здесь конец первого вектора уже совпадает с началом второго, поэтому специальный перенос не требуется. Сначала проверим направление: нужно пройти от A к B, а затем от B к C.

1. Отметьте, что AB⃗ — первый вектор, а BC⃗ — второй.
2. Проверьте, что конец AB⃗, точка B, совпал с началом BC⃗.
3. Проведите вектор от начала первого вектора A к концу второго C.

По правилу треугольника получаем AC⃗. Ответ: AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Этот результат показывает прямое перемещение из A в C вместо двух последовательных перемещений.

Из одной точки O отложены векторы a и b. Постройте их сумму. Так как начала векторов уже совпадают, удобнее применить правило параллелограмма. Его диагональ должна выходить именно из точки O.

1. Через конец вектора a проведите прямую, параллельную b.
2. Через конец b проведите прямую, параллельную a; обозначьте их пересечение C.
3. Проведите диагональ от O к C и направьте её к C.

Стороны параллелограмма показывают исходные векторы, а диагональ — их совместное действие. Ответ: вектор OC⃗, то есть диагональ с общим началом, равен a + b.

Даны векторы a и b. Постройте разность a − b. Вычитание пока нельзя изображать как простое изменение направления a: нужно сохранить a и заменить именно b противоположным вектором. После этого задача становится сложением.

1. Выберите удобную точку O и отложите от неё вектор a.
2. Постройте от той же точки вектор −b, равный b по длине, но направленный в обратную сторону.
3. Сложите a и −b по правилу параллелограмма: диагональ из O задаёт результат.

Полученный вектор равен сумме a + (−b). Ответ: a − b = a + (−b); на чертеже это диагональ параллелограмма, построенного на a и −b.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать длины векторов и считать полученное число суммой. Длину результата нельзя определить только по двум длинам, потому что векторы могут быть направлены одинаково, под углом или в противоположные стороны. Такую ошибку допускают, представляя вектор обычным отрезком. Проверяйте себя: сумма должна быть направленным отрезком, построенным с учётом направлений слагаемых.

Ошибка: при правиле треугольника приложить второй вектор началом к началу первого. Тогда векторы не показывают последовательные перемещения, и построенная линия не задаёт их сумму. Обычно это происходит, если смотреть только на близость концов, а не на направление стрелок. Проверьте, что начало второго вектора находится именно у конца первого.

Ошибка: считать равными только векторы с общим началом. Но точки расположения не определяют равенство: важны одинаковая длина и одинаковое направление. Начала могут быть в разных местах, если один вектор можно параллельно перенести к другому. Для проверки сравните длины и направления, а не положение на рисунке.

Ошибка: при вычитании разворачивать уменьшаемый вектор или менять оба вектора. Так меняется смысл действия, поскольку противоположным делают только вычитаемый вектор. Путаница появляется из-за слова «вычесть», которое ошибочно связывают с обращением всего построения. Перед сложением запишите a − b = a + (−b) и проверьте: a осталось прежним, а b развернули.

Связь с другими темами

Для построений нужно знать, что такое направленный отрезок, как измеряют его длину и как задают направление. Пригодится и умение переносить отрезок параллельно самому себе: так второй вектор можно приставить к концу первого. Эти действия опираются на уже знакомые свойства отрезков и параллельных прямых.

Сложение и вычитание пригодятся, когда вы начнёте задавать векторы координатами и выполнять действия с векторами в координатах. Векторные построения также описывают перемещения: сумма показывает общий результат нескольких шагов. Это помогает решать геометрические задачи, в которых важно понять не только расстояние, но и направление движения.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковую длину и направление.
• При сложении по правилу треугольника начало второго вектора совмещают с концом первого.
• Сумма по правилу параллелограмма — диагональ, выходящая из общего начала векторов.
• Сумма векторов не меняется при перестановке слагаемых.
• Разность a − b равна сумме a и вектора, противоположного b.
• Противоположные векторы равны по длине и направлены в разные стороны.