40. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Сумма векторов — вектор, который получают, последовательно откладывая слагаемые так, чтобы начало каждого следующего совпадало с концом предыдущего, а затем соединяя начало первого с концом последнего. Такая конструкция описывает общий результат нескольких перемещений. Для двух векторов a и b сумму обозначают a + b.

Правило треугольника — способ построить сумму двух векторов: второй вектор переносят так, чтобы его начало совпало с концом первого. Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго. Правило удобно применять, когда векторы нужно сложить последовательно.

Разность векторов — сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Это определение превращает вычитание в уже знакомое сложение. Оно подсказывает, какой именно вектор нужно построить вместо b.

Противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления; их обозначают, например, b и −b. При сложении они взаимно компенсируются: b + (−b) = 0, где 0 — нулевой вектор. Это свойство позволяет проверять построение разности и упрощать выражения.

Как это устроено

При сложении важны и длина каждого вектора, и его направление: два одинаковых по длине вектора могут дать разные результаты, если направлены по-разному. Например, сонаправленные векторы усиливают друг друга, а противоположно направленные — частично или полностью компенсируются. Вектор при этом разрешается параллельно переносить, потому что такой перенос не меняет ни длину, ни направление. Поэтому слагаемые можно расположить так, чтобы построение было удобным.

Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, приложите начало второго к концу первого. Искомая сумма соединяет начало первого с концом второго, потому что она показывает итоговое перемещение после двух шагов подряд. Если пройти сначала по первому вектору, а затем по второму, конечная точка окажется именно в конце суммы. Перенос второго вектора нужен только для наглядного построения и не меняет сам вектор.

Если два вектора a и b уже отложены из одной точки, можно построить параллелограмм, взяв их за стороны. Через конец каждого вектора проводят прямую, параллельную другому вектору; пересечение прямых даёт четвёртую вершину. Диагональ из общей начальной точки к этой вершине задаёт a + b. Это работает потому, что противоположные стороны параллелограмма равны как векторы, а диагональ можно рассматривать как последовательный переход сначала по одной стороне, затем по параллельной ей стороне.

Сложение векторов переместительно: a + b = b + a. В параллелограмме диагональ из общего начала не зависит от того, какую из двух сторон считать первым слагаемым, поэтому порядок можно менять. Сложение также сочетательно: (a + b) + c = a + (b + c), поскольку оба выражения описывают один путь через три последовательных перемещения. Эти свойства позволяют выбирать удобный порядок слагаемых и объединять их в группы.

Вычитание сводится к сложению с противоположным вектором: a − b = a + (−b). Для геометрического построения перенесите вектор −b, направленный противоположно b, к концу a, а затем соедините начало a с концом перенесённого −b. Если a и b отложены из одной точки, разность a − b можно также представить вектором от конца b к концу a. Проверка проста: прибавление b к полученной разности должно вернуть a, так как −b и b взаимно уничтожаются.

Сложение и вычитание векторов: построение и свойства

Таблица помогает выбрать построение по расположению исходных векторов: из общей точки удобно применять параллелограмм, а при последовательном расположении — треугольник. Для вычитания сначала замените вычитаемый вектор противоположным. Свойства сложения позволяют упростить выражение до построения.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы a и b. Постройте их сумму по правилу треугольника. Смысл задачи — изобразить два перемещения одно за другим, не изменяя ни длины, ни направления векторов. Конечная точка второго перемещения покажет итог пути.

1. Отметьте начало вектора a и его конец.
2. Параллельным переносом переместите b так, чтобы его начало совпало с концом a; длина и направление b останутся прежними.
3. Проведите вектор от начала a к концу перенесённого b. Он и есть сумма a + b, поскольку соединяет начальную и конечную точки общего перемещения.

Ответ: сумма — вектор от начала a к концу перенесённого b. Проверьте, что второй вектор начинается точно там, где заканчивается первый. Если это условие выполнено, построение соответствует правилу треугольника.

Задача 2. Из одной точки отложены векторы a и b. Постройте a + b и объясните, почему полученный вектор является диагональю параллелограмма. Оба слагаемых уже имеют общее начало, поэтому построение треугольника можно дополнить до параллелограмма. Диагональ должна выходить из той же точки.

1. Проведите через конец a прямую, параллельную b, а через конец b — прямую, параллельную a.
2. Обозначьте их пересечение: вместе с исходными векторами оно образует параллелограмм.
3. Соедините общую начальную точку с противоположной вершиной. Полученная диагональ равна a + b: путь по двум сторонам параллелограмма даёт то же перемещение, что и переход по диагонали.

Ответ: a + b — диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки векторов. При проверке сравните её направление с последовательным обходом двух сторон. Совпадение конечной вершины подтверждает результат.

Задача 3. Даны векторы a и b. Постройте a − b и проверьте результат сложением полученного вектора с b. Здесь важно не прибавить b повторно, а заменить вычитание прибавлением противоположного вектора. Проверка должна вернуть исходный вектор a.

1. Постройте вектор −b: он равен b по длине, но направлен в обратную сторону.
2. Отложите −b от конца a. Соедините начало a с концом −b; полученный вектор обозначьте a − b.
3. Прибавьте к результату b по правилу треугольника. Векторы −b и b компенсируются, поэтому конечный результат совпадает с a.

Ответ: a − b = a + (−b), а проверка даёт (a − b) + b = a. Если вместо −b использовали b, проверка не сойдётся: получится сложение, а не вычитание. Это простой способ обнаружить ошибку в направлении.

Типичные ошибки

Складывать только длины векторов — ошибка, потому что результат зависит также от взаимных направлений. Её допускают, принимая вектор за обычный отрезок без направления. Проверяйте построение графически: сонаправленные векторы дают более длинный результат, а противоположные могут компенсироваться.

При построении по правилу треугольника нельзя откладывать второй вектор не от конца первого. Иначе соединяющий отрезок не показывает путь, пройденный сначала по одному вектору, затем по другому. Проверьте, совпало ли начало второго вектора с концом первого; если нет, перенесите его параллельно самому себе.

Считать a − b равным b − a нельзя: при перемене порядка меняется направление результата. Ошибку часто провоцирует привычка считать вычитание перестановочной операцией, хотя переместительно только сложение. Постройте оба вектора из одной точки: a − b направлен от конца b к концу a, а b − a — наоборот.

Строить a − b как сумму a и b тоже неверно, потому что тогда вычитаемый вектор не меняет направления. Причина ошибки — пропуск знака минус перед b. Сначала постройте −b и проверьте результат равенством (a − b) + b = a.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны понятия их длины и направления, а также умение откладывать равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание пригодятся при разложении вектора по направлениям и решении геометрических задач в пространстве. При координатном задании векторов те же операции выполняются отдельно с соответствующими координатами: координаты суммы складывают, а координаты разности вычитают.

Что запомнить

• Сумма векторов не зависит от выбора точки, от которой их откладывают.
• По правилу треугольника конец первого вектора соединяют с началом второго.
• По правилу параллелограмма сумма — диагональ, выходящая из общего начала векторов.
• Сложение векторов переместительно и сочетательно.
• Разность a − b равна сумме a и −b.
• Сумма противоположных векторов — нулевой вектор.