§ 2. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Сумма векторов — вектор, который получается при сложении двух или нескольких векторов. Например, если конец вектора AB совпадает с началом BC, то их сумма — вектор AC. Это понятие позволяет одним вектором описать общий результат нескольких перемещений.

Правило треугольника — способ построения суммы: начало второго вектора совмещают с концом первого, а сумму проводят от начала первого к концу второго. Получившаяся линия показывает общий путь и его направление от старта к финишу. Правило удобно применять и тогда, когда векторы первоначально заданы в разных местах.

Противоположный вектор — вектор той же длины, что и данный, но направленный в противоположную сторону. Если вектор обозначен a, противоположный ему обозначают −a. Он нужен, чтобы представить вычитание как сложение и сохранить единый способ работы с векторами.

Разность векторов — сумма уменьшаемого вектора с вектором, противоположным вычитаемому: a − b = a + (−b). Поэтому перед построением разности направление второго вектора нужно развернуть. Такое определение помогает уверенно находить результат независимо от расположения векторов.

Как это устроено

Для сложения по правилу треугольника второй вектор переносят параллельно самому себе к концу первого. Перенос не меняет вектор, поскольку сохраняются его длина и направление. Когда начало второго совпадает с концом первого, путь из двух частей становится непрерывным, а вектор от начальной точки к конечной показывает общий результат. Поэтому сумма направлена не просто вдоль одного из слагаемых, а от старта всей цепочки к её финишу.

Правило параллелограмма применяют, когда векторы имеют общее начало. Достроив на них параллелограмм, получают два способа пройти от общего начала к противоположной вершине: сначала вдоль одного вектора, затем вдоль перенесённого второго, или в обратном порядке. Оба пути приводят в одну точку, поэтому диагональ из общего начала совпадает с суммой по правилу треугольника. Диагональ, выходящая из другой вершины, такого результата не задаёт.

Несколько векторов складывают, последовательно прикладывая начало каждого следующего к концу предыдущего. Тогда отдельные перемещения образуют цепочку без разрывов. Вектор от начала первого звена к концу последнего и есть сумма, потому что он задаёт то же перемещение напрямую. Если поменять порядок звеньев, можно снова отложить их друг за другом: конечный результат сохранится, так как сложение векторов не зависит от порядка слагаемых.

Перестановка слагаемых не меняет сумму и при построении по треугольнику. Например, при сложении a и b можно сначала отложить a, а затем перенесённый к его концу b, либо начать с b и приложить к нему a. В обоих случаях общий результат ведёт от начальной точки к той же конечной точке. Когда оба вектора изначально имеют общее начало, тот же вывод сразу виден по диагонали параллелограмма.

Вычитание сводят к сложению: чтобы построить a − b, к вектору a прибавляют −b. Если a и b выходят из точки O, вектор −b можно отложить от конца a, после чего провести результирующий вектор по правилу треугольника. Искомая разность также получается напрямую: она направлена от конца b к концу a, потому что именно так нужно пройти от конца вычитаемого к концу уменьшаемого. Такой способ позволяет проверить построение через определение разности.

Сложение и вычитание векторов

Сначала определите, какие векторы даны и имеют ли они общее начало. Для двух векторов с общим началом можно выбрать правило параллелограмма, а для цепочки перемещений — правило треугольника. При вычитании сначала замените операцию сложением с противоположным вектором.

Разбор задач

Сумма векторов AB и BC

Даны векторы AB и BC. Нужно построить их сумму. Конец первого вектора B уже совпадает с началом второго, поэтому векторы образуют цепочку без дополнительного переноса. Это подходящий случай для правила треугольника.

1. Найдите начало первого вектора: это точка A.
2. Проверьте, что начало BC — точка B, то есть конец AB.
3. Проведите вектор от начальной точки A к конечной точке C.

Полученный вектор показывает перемещение сначала из A в B, затем из B в C. Он направлен от A к C и равен сумме данных векторов. Ответ: AB + BC = AC.

Сумма двух векторов с общим началом

Пусть два вектора выходят из точки O. Требуется построить их сумму и показать, что тот же ответ получается по правилу треугольника. При общем начале удобно сначала использовать параллелограмм: его диагональ сразу связывает исходную точку с общей конечной точкой построения. Затем проверим этот результат последовательным откладыванием векторов.

1. Обозначьте концы данных векторов точками A и B.
2. Через A проведите прямую, параллельную OB, а через B — прямую, параллельную OA; обозначьте их пересечение C.
3. Проведите диагональ OC. Она выходит из общего начала, поэтому изображает сумму.
4. Перенесите вектор OB так, чтобы его начало было в A. Его конец окажется в C, и по правилу треугольника сумма равна OC.

Оба построения приводят к точке C: параллельные стороны сохраняют направления и длины соответствующих векторов. Значит, диагональ из общего начала и вектор, полученный последовательным откладыванием, совпадают. Ответ: сумма — вектор OC.

Разность векторов a и b с общим началом

Пусть векторы a и b заданы из точки O к точкам A и B соответственно. Нужно построить a − b. По определению это a + (−b), поэтому нельзя просто сложить исходные векторы или оставить b без изменения. При общем начале можно сразу определить направление искомого результата.

1. Запишите разность как a − b = a + (−b).
2. Постройте противоположный к b вектор: он имеет ту же длину, но направлен от B в сторону, противоположную OB.
3. Сложите a и −b по правилу треугольника либо воспользуйтесь общим началом исходных векторов.
4. Проведите вектор от B к A: именно он соединяет конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого.

Направление B → A соответствует разности, поскольку добавление −b к a компенсирует вектор b. Полученный результат не зависит от того, каким из двух способов выполнено построение. Ответ: a − b = BA.

Типичные ошибки

При правиле треугольника иногда прикладывают второй вектор к началу первого, а не к его концу. Тогда цепочка не показывает последовательное перемещение, и направление суммы оказывается неверным. Такая ошибка возникает, когда правило запоминают по словам, не проверяя, где заканчивается первый вектор. Проверка проста: начало второго должно совпадать именно с концом первого, а сумма должна соединять начало всей цепочки с её концом.

В параллелограмме можно по ошибке выбрать диагональ, выходящую из вершины, противоположной общему началу. Но сумма начинается там же, где начинаются слагаемые, поэтому нужна диагональ, проведённая из их общего начала. Путаница возникает из-за того, что в параллелограмме две диагонали и обе могут казаться подходящими. Проверьте начало: искомая диагональ обязана начинаться в точке приложения обоих векторов.

При вычитании иногда оставляют вычитаемый вектор направленным по-прежнему. Тогда фактически складывают исходные векторы, а не выполняют заданную разность. Это происходит, если забыть, что разность заменяется сложением с противоположным вектором. Перед построением отметьте, что длина b сохраняется, но направление −b меняется на обратное.

Равные векторы порой считают одинаковыми только тогда, когда у них совпадает точка приложения. Однако равенство определяется одинаковыми длиной и направлением, поэтому векторы могут быть расположены в разных местах. Ошибка возникает из-за привычки сравнивать отрезки по расположению на чертеже. Для проверки мысленно перенесите один вектор параллельно самому себе: если его длина и направление совпадут с другим, векторы равны.

Связь с другими темами

Чтобы выполнять действия с векторами, нужно знать, что такое вектор, его длина и направление, а также уметь распознавать равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание помогают доказывать геометрические соотношения и решать задачи, в которых описываются перемещения. Эти действия служат основой для следующих тем: умножения вектора на число и разложения векторов. Поэтому аккуратное построение суммы и разности пригодится и в дальнейших вычислениях.

Что запомнить

• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• При сложении по правилу треугольника начало второго вектора совмещают с концом первого.
• Перестановка слагаемых не меняет сумму.
• Противоположные векторы равны по длине и направлены в разные стороны.
• Вычитание вектора заменяют сложением с противоположным вектором.
• При общем начале векторов a и b разность a − b направлена от конца b к концу a.