2.1. Сложение векторов

Определения и обозначения

Сумма двух векторов — вектор, полученный последовательным переносом слагаемых так, чтобы начало второго совпало с концом первого; его начало — начало первого, а конец — конец второго. Такой способ показывает общий результат двух перемещений, поэтому сумма описывает их как одно перемещение.

Правило треугольника — способ построить сумму, отложив второй вектор от конца первого. Векторы образуют две стороны треугольника, а третья сторона, направленная от начала первого к концу второго, задаёт сумму. Это правило удобно, когда один вектор уже заканчивается там, где начинается другой.

Правило параллелограмма — способ сложить два вектора с общим началом: сумму изображает диагональ параллелограмма, проведённая из этой общей точки. Оно помогает строить результат, когда слагаемые уже приложены к одной точке, и наглядно показывает, как влияют их направления.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают; при сложении он не изменяет другой вектор. Это нужно, чтобы описывать отсутствие перемещения и случаи, когда несколько перемещений взаимно компенсировались.

Как это устроено

Вектор можно переносить параллельно самому себе: при таком переносе не меняются ни его длина, ни направление. Поэтому место, где нарисован вектор, не мешает сложению: можно поставить его в нужную точку, сохранив то же перемещение. Это свойство позволяет состыковывать конец одного вектора с началом другого.

Правило треугольника прямо следует из определения суммы. Представим, что первое перемещение заканчивается в некоторой точке, а второе начинается там же; тогда общий путь ведёт от старта первого к финишу второго. Соединяющий эти точки вектор и выражает результат последовательных перемещений, поэтому второй вектор для построения переносят именно к концу первого.

Правило параллелограмма получается из того же построения. Если два вектора выходят из одной точки, перенесите каждый параллельно себе так, чтобы они стали соседними сторонами параллелограмма. Противоположные стороны равны соответствующим векторам и направлены так же, поэтому последовательное откладывание сторон даёт диагональ из общего начала. Она и совпадает с суммой.

Перестановка слагаемых не меняет сумму: a + b = b + a. В параллелограмме можно начать последовательное откладывание с любой из двух сторон, но конечная диагональ из общей начальной точки останется прежней. Значит, смена порядка слагаемых меняет путь построения, но не его результат.

Для нескольких векторов сумму строят последовательным откладыванием каждого следующего от конца предыдущего. Получившийся вектор идёт от начала первого слагаемого к концу последнего, независимо от того, как расставлены скобки. Например, (a + b) + c = a + (b + c): объединение первых двух перемещений в один шаг не меняет общего пути.

Способы сложения двух векторов

Выбирайте способ по тому, как расположены слагаемые: правило треугольника подходит для последовательного соединения, а параллелограмма — для общего начала. Оба способа дают один и тот же вектор суммы, поэтому построение можно проверить вторым способом.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы a и b. Постройте вектор a + b по правилу треугольника. Здесь не требуется складывать длины: нужно получить вектор, который соединит начало первого с концом второго перемещения.

1. Оставьте вектор a на месте и отметьте его конец.
2. Параллельно перенесите b так, чтобы его начало совпало с концом a. Проверьте, что длина и направление b при переносе сохранились.
3. Проведите стрелку от начала a к концу перенесённого b. Это и есть вектор a + b.

Ответ: сумма — вектор от начала a к концу перенесённого b. Проверка простая: конец a должен совпадать с началом b, а стрелка результата должна идти от общего старта к общему финишу.

Задача 2. Из одной точки отложены векторы a и b. Постройте их сумму и сравните правила треугольника и параллелограмма. Поскольку слагаемые уже имеют общее начало, можно сразу построить параллелограмм, а затем проверить его диагональ последовательным откладыванием.

1. Обозначьте общее начало слагаемых и постройте через конец a прямую, параллельную b, а через конец b — прямую, параллельную a.
2. Получите параллелограмм и проведите диагональ от общего начала к противоположной вершине. По правилу параллелограмма это сумма a + b.
3. Теперь перенесите b к концу a, как в правиле треугольника. Соедините общее начало с концом перенесённого b и сравните полученный вектор с диагональю.

Ответ: результаты совпадают. Диагональ и вектор, полученный последовательным откладыванием, имеют одно начало и один конец; значит, это один и тот же вектор.

Задача 3. В треугольнике ABC выразите вектор AC через векторы AB и BC, а затем найдите сумму AB + BC. Точки расположены так, что конец вектора AB — точка B — является началом вектора BC. Это уже готовое расположение для правила треугольника.

1. Проследите путь от A к C через B: сначала он задаётся вектором AB, затем вектором BC.
2. По правилу треугольника соедините начало первого вектора A с концом второго C. Полученный вектор — AC.
3. Запишите равенство, которое связывает заданные векторы. Переставлять или складывать их длины не нужно: речь идёт именно о направленных векторах.

Ответ: AB + BC = AC, следовательно, вектор AC выражается как сумма векторов AB и BC.

Типичные ошибки

Складывать длины векторов вместо построения вектора суммы — ошибка: направление слагаемых при таком подсчёте теряется. Её часто допускают, потому что длина кажется обычным числом. Проверьте себя построением: длина суммы зависит от угла между векторами и обычно не равна сумме их длин.

Если при правиле треугольника отложить второй вектор от начала первого, последовательность перемещений нарушится. Так делают, путая общее начало с нужным соединением векторов. Проверьте точки стыка: конец первого должен совпадать с началом второго, а сумма должна идти от начала первого к концу второго.

В правиле параллелограмма иногда принимают за сумму одну из боковых сторон. Стороны показывают сами слагаемые, а не общий результат. Проверьте построение: сумма — диагональ, выходящая из общего начала и ведущая к противоположной вершине параллелограмма.

При переносе вектора нельзя менять его длину или разворачивать в другую сторону. Такая ошибка возникает, если считать, что перенос означает произвольное перемещение рисунка. Сравните исходный и перенесённый векторы: они должны быть параллельны, одинаково направлены и равны по длине.

Связь с другими темами

Для сложения нужно знать, что такое вектор, где находятся его начало и конец, как определяются длина и направление, а также когда векторы равны. Равенство векторов позволяет переносить их, не меняя самого вектора. Позже сложение пригодится при действиях с координатами векторов и в задачах, где одни векторы выражают через другие.

Геометрическое сложение связано с перемещениями: несколько перемещений можно заменить одним, которое ведёт от начальной точки всего пути к конечной. Поэтому правило треугольника не просто способ начертить сумму, а наглядная модель того, как объединяются последовательные движения.

Что запомнить

• Сумму векторов строят по правилу треугольника.
• При сложении второй вектор откладывают от конца первого.
• Для векторов с общим началом сумму можно построить как диагональ параллелограмма.
• Перестановка слагаемых не меняет сумму: a + b = b + a.
• Расстановка скобок не меняет сумму: (a + b) + c = a + (b + c).
• При сложении с нулевым вектором исходный вектор не меняется.