4.3. Сложение векторов

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок. У него есть начало и конец, которые задают направление, а длина показывает расстояние между ними. Вектор обычно обозначают строчной буквой со стрелкой, например ⃗a, или двумя заглавными буквами со стрелкой: ⃗AB. Эти сведения нужны, чтобы отличать вектор от обычного отрезка и точно задавать его на чертеже.

Сумма векторов — вектор, получаемый при последовательном откладывании слагаемых. Чтобы сложить два вектора, располагают их так, чтобы конец первого совпал с началом второго, а затем проводят вектор от начала первого к концу второго. Так можно заменить несколько перемещений одним общим перемещением. Сумму векторов ⃗a и ⃗b обозначают ⃗a + ⃗b.

Правило треугольника — способ построить сумму, перенеся начало второго вектора в конец первого. После такого переноса слагаемые образуют две стороны треугольника, пройденные последовательно. Оставшаяся сторона, направленная от начала первого вектора к концу второго, и есть сумма. Это правило особенно удобно, когда векторы уже расположены один за другим.

Правило параллелограмма — способ построить сумму двух векторов с общим началом. На векторах-слагаемых строят параллелограмм, достраивая его стороны параллельными переносами, а затем проводят диагональ из общей точки. Эта диагональ изображает сумму. Правило удобно, когда слагаемые на чертеже уже выходят из одной точки.

Как это устроено

При построении суммы часто нужно передвинуть один из векторов, чтобы расположить его у конца другого. Такой перенос допустим, потому что вектор определяется длиной и направлением, а не местом на чертеже. При параллельном переносе отрезок не растягивается и не поворачивается, поэтому новый вектор равен исходному. Если изменить длину или развернуть стрелку, получится уже другой вектор, и сумма может измениться.

Пусть заданы векторы ⃗a и ⃗b. Перенесите ⃗b так, чтобы его начало оказалось в конце ⃗a, и проведите стрелку от начала ⃗a к концу перенесённого ⃗b. Именно эта стрелка показывает общее перемещение после двух шагов: сначала пройден путь ⃗a, затем ⃗b. Поэтому у вектора суммы начало совпадает с началом первого слагаемого, а конец — с концом второго.

Если слагаемые имеют общее начало, их можно не откладывать последовательно сразу, а построить на них параллелограмм. Перенесите каждый вектор параллельно самому себе к противоположной стороне: получатся две пары параллельных сторон. Диагональ из общей точки ведёт к вершине, в которую приводит последовательное откладывание обоих векторов. Значит, правило параллелограмма даёт ту же сумму, что и правило треугольника.

Порядок слагаемых можно менять: ⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a. В параллелограмме обе последовательности приводят к одной и той же противоположной вершине, поэтому диагональ из общего начала не меняется. Это геометрическое объяснение переместительного свойства сложения. Оно позволяет выбирать тот порядок, при котором чертёж проще построить или рассмотреть.

Для суммы нескольких векторов расположите их последовательно: начало каждого следующего совместите с концом предыдущего. Общий результат соединяет начало первого вектора с концом последнего, потому что показывает весь путь целиком. Можно переставлять слагаемые и объединять их в группы: например, сначала найти сумму двух векторов, а затем прибавить третий. Такие действия не меняют общий результат, если каждый вектор перенесён без изменения длины и направления.

Способы сложения векторов и свойства суммы

Сначала посмотрите, как расположены слагаемые: это подскажет, какое правило проще применить. В обоих случаях следите за началом и концом результирующей стрелки. Если векторы имеют общее начало, диагональ параллелограмма должна выходить именно из этой точки.

Разбор задач

Задача 1. Даны два вектора, расположенные последовательно: конец первого совпадает с началом второго. Постройте их сумму. Здесь не нужно переставлять векторы или менять их направление, потому что нужное расположение уже есть. Ищем вектор, показывающий оба перемещения вместе.

1. Обозначьте начало первого вектора точкой A, конец первого и начало второго — точкой B, конец второго — точкой C.
2. Проведите стрелку из A в C. Точка B остаётся общей для двух слагаемых, но не становится началом суммы.
3. Проверьте направление: сначала движение идёт из A в B, затем из B в C, поэтому итоговая стрелка должна вести от A к C.

Ответ: сумма — вектор ⃗AC. Такое построение непосредственно применяет правило треугольника: общий путь заменяется одной стрелкой от исходной точки до конечной.

Задача 2. Даны два вектора с общим началом. Постройте их сумму и сравните результат с построением по правилу треугольника. Поскольку векторы уже выходят из одной точки, сначала удобно применить правило параллелограмма. Затем нужно убедиться, что последовательное откладывание ведёт к той же вершине.

1. Назовите общее начало точкой A, а концы векторов — точками B и C. Постройте через B прямую, параллельную AC, и через C прямую, параллельную AB.
2. Обозначьте точку пересечения этих прямых D. Четырёхугольник ABDC — параллелограмм, а диагональ ⃗AD выходит из общего начала векторов.
3. Для проверки перенесите один вектор к концу другого по правилу треугольника. Конец второго после переноса совпадёт с D, поэтому получится та же стрелка ⃗AD.

Ответ: сумма изображается диагональю ⃗AD. Совпадение построений объясняется тем, что перенос вектора сохраняет его длину и направление.

Задача 3. Постройте сумму трёх векторов, расположенных в разных местах чертежа, и покажите, что результат можно получить в другом порядке. Важно сначала привести векторы к последовательному расположению, не изменив их. Затем можно сравнить два допустимых порядка построения.

1. Обозначьте векторы ⃗a, ⃗b и ⃗c. Параллельно перенесите ⃗b к концу ⃗a, а ⃗c — к концу перенесённого ⃗b.
2. Проведите результирующую стрелку от начала ⃗a к концу ⃗c. Это вектор ⃗a + ⃗b + ⃗c по правилу треугольника.
3. Постройте сумму в ином порядке, например сначала ⃗b, затем ⃗a и ⃗c. Благодаря перестановке и группировке слагаемых итоговая стрелка соединит те же начальную и конечную точки.

Ответ: оба построения дают одну и ту же сумму. Чтобы проверить себя, сравните не места отдельных векторов, а направление и длину результирующей стрелки.

Типичные ошибки

Иногда соединяют начала слагаемых или проводят стрелку от начала второго к концу первого. Это происходит, если ориентироваться на форму рисунка, а не на порядок перемещений. При правиле треугольника сумма идёт от начала первого вектора к концу второго. Проверьте, что стрелка начинается в точке старта всей последовательности и заканчивается в её последней точке.

При переносе вектора могут случайно изменить его длину или направление. Например, наклонить его или развернуть стрелку, чтобы удобнее было рисовать. Тогда перенесённый вектор уже не равен исходному, а построенная сумма относится к другим слагаемым. Сверьте длины и направления до и после переноса: измениться должно только положение.

При построении параллелограмма иногда проводят сумму из вершины, не являющейся общим началом векторов. Причина обычно в том, что диагонали параллелограмма выглядят одинаково убедительно. Но сумму задаёт именно диагональ, выходящая из общей точки двух слагаемых. Перед проведением стрелки отметьте это общее начало и проверьте, что диагональ начинается в нём.

Ещё одна ошибка — считать, что перестановка слагаемых меняет результат. Так кажется, если векторы расположены по-разному и рисунки не совпадают на первый взгляд. Однако длина и направление суммы сохраняются при перестановке, а диагональ построенного параллелограмма общая для обоих порядков. Сравните начальную и конечную точки результирующих стрелок, а не расположение промежуточных векторов.

Связь с другими темами

Для сложения нужно знать, что такое вектор, как измеряется его длина и чем задаётся направление. Ещё понадобится умение строить равные векторы: именно оно позволяет переносить слагаемые по чертежу. Если эти действия пока вызывают затруднение, сначала потренируйтесь распознавать векторы с одинаковой длиной и направлением.

Сложение подготавливает к изучению вычитания векторов и действий с векторами в координатах. В геометрических задачах эти правила помогают описывать последовательные перемещения и доказывать соотношения между отрезками. Освоив построения, легче понять, почему разные пути могут приводить к одному результату.

Что запомнить

• Сумму двух векторов можно построить по правилу треугольника.
• При правиле треугольника начало второго вектора совмещают с концом первого.
• Вектор суммы соединяет начало первого слагаемого с концом второго.
• Для двух векторов с общим началом сумму можно построить по правилу параллелограмма.
• Сумма не меняется при перестановке слагаемых.
• При сложении нескольких векторов их можно объединять в группы.