"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Сумма векторов — новый вектор, который показывает общий результат двух последовательных перемещений. Чтобы её построить, второй вектор откладывают от конца первого, а затем соединяют начало первого с концом второго. Если слагаемые начинаются в одной точке, удобно использовать параллелограмм: его диагональ из общего начала и будет суммой. Порядок слагаемых не меняет результат, а нулевой вектор при сложении ничего не изменяет.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма векторов — вектор, который получают при сложении двух векторов. Чтобы его построить, второй вектор прикладывают к концу первого, а затем соединяют начало первого с концом второго. Так сумма показывает общий результат двух последовательных перемещений. Она тоже имеет длину и направление.
Правило треугольника — способ построения суммы, при котором начало второго вектора совмещают с концом первого. Векторы вместе образуют две стороны треугольника, а сумма соединяет начало первого с концом второго. Это правило удобно, когда слагаемые уже расположены последовательно или их можно перенести. Оно помогает увидеть направление результата.
Правило параллелограмма применяют, если два вектора имеют общее начало. Из них достраивают параллелограмм, а его диагональ, выходящая из общего начала, изображает сумму. Такой способ удобен, когда оба слагаемых уже приложены к одной точке. Диагональ показывает совместный результат их направлений.
Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают. Он не задаёт перемещения: его длина равна нулю. Если к вектору прибавить нулевой, результатом останется исходный вектор. Это полезно учитывать при проверке записи суммы.
Представь, что сначала нужно пройти путь, заданный первым вектором, а затем — путь, заданный вторым. Конец первого становится начальной точкой второго, поэтому путь целиком начинается в начале первого и заканчивается в конце второго. Вектор, соединяющий эти две точки, передаёт итоговое перемещение. Именно поэтому при построении достаточно последовательно отложить слагаемые и провести соединяющий вектор.
Векторы можно переносить параллельно самим себе, потому что важны их длина и направление, а не конкретное место на чертеже. При переносе конечная точка оказывается на таком же расстоянии и в том же направлении от начальной. Поэтому второй вектор можно отложить от конца первого, даже если изначально он находился в другом месте. Это не меняет ни одно из слагаемых, а значит, не меняет и сумму.
Если начала двух векторов совпадают, правило треугольника можно применить, перенеся один из них к концу другого. Вместе с исходными векторами строят параллелограмм: его противоположные стороны параллельны и равны. Диагональ, проведённая от общего начала, соединяет начальную точку одного пути с конечной точкой другого. Поэтому она задаёт тот же результат, что и последовательное откладывание векторов.
При смене слагаемых можно сначала отложить любой из двух векторов, а затем второй. Если они имеют общее начало, оба порядка построения приводят к одной диагонали параллелограмма. Значит, полученный вектор не меняется: сумма векторов не зависит от порядка слагаемых. Это свойство позволяет выбирать более удобный порядок построения.
Нулевой вектор не уводит конечную точку ни в какую сторону, потому что его начало совпадает с концом. Если после ненулевого вектора отложить нулевой, конечная точка останется там же. Если нулевой вектор поставить первым, он также не изменит положение начала следующего вектора. Поэтому в обоих случаях сумма совпадает с ненулевым слагаемым.
| Что сравниваем | Правило треугольника | Правило параллелограмма |
|---|---|---|
| Как расположить слагаемые | Начало второго вектора совмещают с концом первого. | Оба вектора имеют общее начало. |
| Как построить результирующий вектор | Соединить начало первого вектора с концом второго. | Провести диагональ параллелограмма из общего начала. |
| Когда способ особенно удобен | Когда векторы нужно отложить последовательно. | Когда слагаемые уже выходят из одной точки. |
| Как связаны оба способа | Даёт результат последовательного перемещения. | Даёт тот же результат, что и правило треугольника. |
Сначала посмотри, как расположены слагаемые: так проще выбрать способ построения. Если у них общее начало, обычно удобен параллелограмм; если они стоят последовательно — правило треугольника. Оба способа должны привести к одному и тому же вектору.
Конец первого вектора — точка B, и в этой же точке начинается второй. Значит, векторы уже расположены так, как требуется для правила треугольника. Нужно определить общий путь от начала первого вектора до конца второго. Обозначения AB и BC сразу показывают эти точки.
Ответ: вектор AC. Он представляет оба последовательных перемещения, выполненных одно за другим. Не нужно соединять точки B с самими собой или складывать только длины отрезков: здесь строится именно направленный вектор.
Оба вектора уже выходят из одной точки, поэтому можно воспользоваться правилом параллелограмма. Сначала нужно достроить фигуру так, чтобы противоположные стороны были параллельны. Затем выбирают диагональ не наугад, а по её начальной точке. Направление суммы будет идти от общего начала к противоположной вершине.
Ответ: сумма — вектор OC, направленный от O к C. Диагональ AB не подходит, потому что она не начинается в общей точке двух слагаемых. Если один из исходных векторов направлен иначе, построение выполняется так же: сохраняются его направление и длина.
Векторы AB и AD имеют общее начало A и являются сторонами параллелограмма. Поэтому сразу видно, что применимо правило параллелограмма. Но результат можно проверить и по правилу треугольника: второй вектор нужно приложить к концу первого. В параллелограмме эта последовательность ведёт к вершине C.
Ответ: AB + AD = AC. Диагональ AC соединяет общее начало сторон с противоположной вершиной и потому задаёт их совместный результат. Равенство также следует из построения параллелограмма: его диагональ из точки A является суммой векторов AB и AD.
Соединяют начала векторов вместо начала первого с концом второго. Так можно случайно получить отрезок, который не отражает последовательность перемещений. Ошибку допускают, если смотрят только на близкие точки, а не на направление стрелок. Проверь: конец первого должен совпасть с началом второго, а сумма — идти от начала первого к концу второго.
Проводят не ту диагональ параллелограмма. Другая диагональ соединяет две вершины, которые не являются общим началом слагаемых и противоположной ему вершиной. Обычно это происходит, когда диагонали считают взаимозаменяемыми. Найди точку, из которой выходят оба вектора, и проведи диагональ именно из неё.
Считают, что вектор нельзя переносить. Из-за этого бывает трудно совместить начало второго с концом первого. Но перенос сохраняет длину и направление, а значит, не изменяет вектор. Сравни исходный и перенесённый векторы: стрелки должны быть параллельны, равны по длине и направлены одинаково.
Путают сумму с одним слагаемым или с разностью. Сумма не обязана совпадать с одним из исходных векторов, а направление разности строят иначе. Такая ошибка возникает, если результат выбирают без построения. Проверь его по правилу треугольника или параллелограмма: он должен соединять начало первого пути с концом второго.
Для сложения векторов нужно знать, что у вектора есть начало, конец, длина и направление. Также важно уметь изображать равные векторы: при переносе их длина и направление должны сохраняться. Эти знания позволяют правильно прикладывать одно слагаемое к другому и строить сумму.
Сложение станет опорой для следующих действий с векторами — вычитания и умножения вектора на число. Оно также помогает решать геометрические задачи, в которых нужно объединить несколько перемещений или выразить диагональ через стороны фигуры. Поэтому полезно не только запоминать правила, но и понимать построение.
Как построить сумму двух векторов?
Отложи второй вектор от конца первого, сохранив его длину и направление. Соедини начало первого вектора с концом второго: полученный вектор и есть сумма.
Почему сумму называют вектором, а не числом?
Результат сложения задаёт не только величину перемещения, но и его направление. Поэтому он изображается направленным отрезком и является вектором.
Как понять, в какую сторону направлена сумма?
Сумма направлена от начала первого слагаемого к концу второго, отложенного от конца первого. При общем начале векторов это диагональ параллелограмма, выходящая из этой точки.
Чем отличаются правило треугольника и правило параллелограмма?
По правилу треугольника векторы ставят последовательно: начало второго совмещают с концом первого. По правилу параллелограмма слагаемые располагают с общим началом и достраивают фигуру; сумма — её диагональ из этого начала.
Можно ли переносить вектор при построении суммы?
Да. Вектор можно перенести параллельно самому себе: его длина и направление при этом сохраняются. Поэтому его можно приложить к концу другого вектора.
13.4. Сложение векторов
