13.3. Равенство векторов

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого отмечены начало и конец. Если начало находится в точке A, а конец — в точке B, вектор обозначают AB со стрелкой сверху. Стрелка показывает, в какую сторону идёт вектор, поэтому важно не перепутать порядок букв.

Длина вектора — длина отрезка, которым он задан. Длину вектора AB записывают как |AB| или AB без стрелки; она может быть равна нулю, но не может быть отрицательной. Это число помогает сравнивать, насколько длинны векторы, независимо от их положения.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления. Их начала не обязаны совпадать: каждый вектор можно перенести на плоскости, не меняя его длину и направление. Это определение позволяет узнавать равные векторы, даже если они изображены в разных местах.

Нулевой вектор — вектор нулевой длины, у которого начало и конец совпадают. Его длину записывают как 0, а направление не определено: совпавшие точки не задают движения ни в одну сторону. Понятие нулевого вектора нужно, чтобы учитывать случай, когда направленный отрезок не имеет длины.

Как это устроено

Вектор задают направленным отрезком, поэтому одной пары точек недостаточно без указания, какая из них начало, а какая — конец. Если поменять начало и конец местами, стрелка направится в противоположную сторону. Значит, получившийся вектор обычно уже не тот же самый: длина отрезка может сохраниться, но направление изменится.

Чтобы сравнить два вектора, нужно проверить одновременно их длины и направления. Если совпадает только длина, векторы могут смотреть в разные стороны; если совпадает только направление, один вектор может быть длиннее другого. Равенство требует выполнения обоих условий, поэтому проверка одного признака не даёт достаточного основания для ответа.

Равные векторы могут быть изображены разными отрезками в разных местах плоскости. Это возможно потому, что перенос отрезка меняет его положение, но не его длину и направление. Поэтому для равенства не требуется, чтобы векторы имели общее начало или лежали на одной прямой.

Чтобы отложить от заданной точки вектор, равный данному, сначала определяют его направление и длину. Затем из заданной точки проводят отрезок той же длины в том же направлении и отмечают его конец. По определению полученный вектор равен исходному, хотя начинается в другом месте: для равенства важны длина и направление, а не расположение.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому он имеет длину 0, но не указывает ни на одно направление. Если нулевые векторы заданы в разных точках, они всё равно равны: длина каждого из них равна нулю, а сравнивать направления невозможно и не нужно. Так нулевой вектор становится частным случаем равенства векторов.

Как определить равенство векторов

Пользуйся таблицей как проверкой: сначала выясни, что именно сравнивается, затем примени условие равенства. Для обычных векторов обязательно проверь и длину, и направление. Нулевые векторы составляют отдельный случай, потому что их направление не определено.

Разбор задач

Задачи на равенство решаем по двум признакам: длине и направлению. Если векторы нарисованы на клетчатой бумаге, удобно описать каждый сдвигом от начала к концу. Такой способ позволяет сравнить векторы, даже если они начинаются в разных местах.

Задача 1

На рисунке даны векторы AB и CD. Их длины равны, направления совпадают. Определите, равны ли векторы. Данные задачи сообщают сразу оба признака, которые входят в определение равных векторов.

1. Сравним длины: по условию длина AB равна длине CD. Первый признак выполнен.

2. Сравним направления: по условию оба вектора направлены одинаково. Второй признак тоже выполнен.

3. Положение начал не проверяем: оно не входит в условия равенства. Оба необходимых признака совпали.

Ответ: векторы AB и CD равны.

Задача 2

На клетчатой бумаге изображены векторы с разными началами; стороны клеток равны. Нужно определить, какие из них равны. Поскольку точки начала разные, сравнивать только положение отрезков неудобно. Вместо этого посчитаем, на сколько клеток каждый вектор перемещается по горизонтали и вертикали.

1. Для каждого вектора отметим, сколько клеток пройдено вправо или влево и вверх или вниз от начала к концу. Направление каждого перемещения обязательно учитываем.

2. Сопоставим полученные пары сдвигов. Например, перемещения на три клетки вправо и одну вверх совпадают у двух векторов, если оба имеют именно такой сдвиг.

3. Совпадение сдвигов означает одинаковые длины и направления: одинаковые клетки задают одинаковые горизонтальную и вертикальную составляющие отрезка. Векторы с разными сдвигами не равны.

Ответ: равны те векторы, у которых число и направление клеток по горизонтали и вертикали совпадают.

Задача 3

Вектор AB имеет длину 5 см и направлен слева направо. Построим из точки M вектор, равный AB. В условии уже заданы нужные характеристики, поэтому переносить сам отрезок AB или помещать точку M на него не требуется.

1. Положим начало нового вектора в точке M. Это гарантирует, что построение выполнено из заданной точки.

2. От M проведём вправо отрезок длиной 5 см и отметим его конец. Направление вправо совпадает с направлением AB.

3. Проверим результат: длина построенного вектора равна 5 см, как у AB, и оба направлены слева направо. Следовательно, выполнены оба условия равенства.

Ответ: из M нужно отложить вправо отрезок длиной 5 см; полученный вектор равен AB.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Так рассуждают, потому что длину легко измерить, но направление при этом можно упустить. Проверь себя: у обоих векторов должны совпадать и длины, и направления.

• Ошибка — требовать, чтобы равные векторы имели общее начало или лежали на одной прямой. Так происходит, если отрезки принимают за обычные, не направленные отрезки. Проверь себя: сравни длину и направление, не учитывая расположение начал.

• Ошибка — путать одинаковое направление с одинаковой прямой. Векторы на параллельных прямых могут быть равны, если направлены одинаково и имеют одну длину. Проверь себя: мысленно перенеси один вектор к началу другого, сохранив стрелку и длину.

• Ошибка — приписывать направление нулевому вектору. Начало и конец у него совпадают, поэтому стрелка не указывает ни вправо, ни влево. Проверь себя: если длина равна нулю, направление не определено.

Связь с другими темами

Для изучения векторов нужно уметь различать отрезок, его длину и направление от одной точки к другой. Если поменять местами начало и конец, направление изменится — это помогает понимать обозначения векторов. Навык сравнения равных векторов пригодится при построении и сравнении направленных отрезков. Он также станет основой для изучения сложения векторов: прежде чем выполнять действия, важно понимать, какие векторы задают одно и то же направление и длину.

Что запомнить

• Вектор задаётся направленным отрезком.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Начала равных векторов могут не совпадать.
• Равные векторы могут лежать на разных параллельных прямых.
• Длина нулевого вектора равна нулю.
• У нулевого вектора направление не определено.