"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Вектор задаётся длиной и направлением, поэтому его начало может находиться в любой точке плоскости. Два вектора равны, если их длины одинаковы и они сонаправлены. Совпадения только одного признака недостаточно: равные по длине векторы могут быть направлены в разные стороны, а сонаправленные — иметь разные длины. Это правило помогает сравнивать векторы, переносить их на чертеже и решать задачи с параллелограммами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные векторы — векторы, имеющие одинаковую длину и одинаковое направление. Их начала могут находиться в разных точках: например, стрелки одинаковой длины, направленные вправо, задают равные векторы, даже если нарисованы в разных местах. Это определение позволяет сравнивать сами векторы, а не их положение на чертеже.
Сонаправленные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Само слово «сонаправленные» говорит только о направлении и ничего не сообщает о длине. Понятие нужно, чтобы проверить один из двух признаков равенства: равные векторы должны быть сонаправлены, но одной сонаправленности недостаточно.
Противоположно направленные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой, но направлены в разные стороны. Их длины при этом могут совпадать или различаться: направление и длина — разные характеристики. Это различие помогает не принять два одинаковых по длине, но встречных вектора за равные.
Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю; его начало и конец совпадают. Направление нулевого вектора не определяется, поскольку у отрезка нулевой длины нет отличимого начала и конца, задающих сторону движения. Это особый случай, который учитывают, когда сравнивают векторы или работают с их длинами.
Вектор задаётся двумя характеристиками: длиной и направлением. Если передвинуть его параллельно самому себе, обе характеристики останутся прежними, потому что длина от переноса не меняется, а направление сохраняется. Поэтому положение начала на плоскости не меняет вектор: на чертеже можно изобразить один и тот же вектор в разных местах.
Чтобы установить равенство, сравнивают и длины, и направления. Равные длины означают, что стрелки имеют одинаковый размер, но одна может быть направлена вправо, а другая влево. Сонаправленность тоже сама по себе не гарантирует равенства: одна стрелка может быть длиннее другой. Только совместное выполнение условий даёт равные векторы.
Равные векторы можно отложить из одной точки, потому что длина и направление однозначно задают конец стрелки после выбора начала. Если от одной точки провести два вектора одинаковой длины в одну сторону, их концы совпадут. Значит, совпадут и направленные отрезки. Этот способ позволяет наглядно проверить равенство или построить вектор с заданными характеристиками.
В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине. Поэтому векторы AB и DC равны: они направлены вдоль параллельных сторон в одну сторону, а длины сторон AB и DC совпадают. Но векторы AB и CD не равны: при такой записи они направлены по одной прямой в противоположные стороны. Порядок букв задаёт направление, поэтому его нужно проверять наряду с длиной.
Перенос вектора на чертеже сохраняет его длину и направление, а значит, по определению получается равный вектор. Например, можно заменить AB вектором, начинающимся в точке C, если от C отложить такую же длину в том же направлении. Эта возможность удобна, когда нужно сложить векторы: их можно расположить последовательно, не меняя самих векторов. Начало перемещается, а заданные длина и направление остаются прежними.
| Ситуация | Длины | Направления | Вывод |
|---|---|---|---|
| Равные векторы | Одинаковые | Сонаправленные | Векторы равны |
| Одинаковые длины, но противоположные направления | Одинаковые | Противоположно направленные | Векторы не равны |
| Сонаправленные векторы разной длины | Разные | Сонаправленные | Векторы не равны |
Сначала проверьте, одинаковы ли длины, затем сравните направления. Если хотя бы одно условие не выполнено, векторы не равны. Таблица показывает, почему нельзя делать вывод только по одному признаку.
Условие. На рисунке изображены два направленных отрезка одинаковой длины на параллельных прямых. Определите, равны ли задаваемые ими векторы. Длины уже известны, поэтому для решения остаётся выяснить, в одну ли сторону направлены стрелки.
Сравним длины направленных отрезков: по условию они одинаковы. Это один необходимый признак равенства. Сам по себе он пока не позволяет ответить на вопрос.
Посмотрим на стрелки и мысленно перенесём их к общему началу, не поворачивая. Если их концы окажутся с одной стороны от начала, векторы сонаправлены. Если окажутся с разных сторон, направления противоположны.
Сопоставим результат с определением. При сонаправленности и одинаковых длинах векторы равны; при противоположной направленности — не равны. Параллельность прямых сама по себе не означает, что стрелки направлены одинаково.
Ответ. Векторы равны только в том случае, если их стрелки сонаправлены; при противоположных направлениях они не равны. Без сведений о направлении стрелок однозначный ответ дать нельзя.
Условие. В параллелограмме ABCD укажите пары равных векторов и обоснуйте ответ. Нужно учитывать не только параллельность и равенство противоположных сторон, но и порядок букв в обозначении каждого вектора. Он указывает, откуда и куда направлена стрелка.
В параллелограмме противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину. Поэтому стороны AB и DC равны по длине и параллельны. При записи AB и DC обе стрелки направлены в одну сторону относительно этих прямых.
Проверим оба признака: длины AB и DC одинаковы, а векторы сонаправлены. Следовательно, AB = DC. Аналогично, стороны BC и AD равны и параллельны, а векторы BC и AD направлены одинаково.
Запишем вывод, не меняя порядок букв: пары равных векторов — AB и DC, BC и AD. Если развернуть один из векторов, например заменить DC на CD, направление изменится. Тогда длина останется прежней, но равенства уже не будет.
Ответ. AB = DC и BC = AD. Равенство следует из одинаковой длины противоположных сторон и сонаправленности соответствующих векторов.
Условие. Дан вектор AB. Постройте из точки C равный ему вектор и объясните, почему построенный вектор равен AB. Требуется получить направленный отрезок с началом C, сохранив характеристики исходного вектора. Точка C может не лежать на прямой AB.
Через точку C проведём прямую, параллельную AB. Параллельность задаёт линию возможного направления, но пока не определяет, в какую сторону вести стрелку. Поэтому отметим сторону, соответствующую направлению от A к B.
На выбранном луче отложим отрезок длины AB и обозначим его конец D. Построение можно выполнить циркулем: взять на нём расстояние AB и отложить его от C. Получили вектор CD.
Сравним признаки: CD имеет ту же длину, что и AB, а благодаря выбору луча направлен так же. Следовательно, CD и AB равны. Если бы мы выбрали противоположный луч, длина совпала бы, но направления оказались бы противоположными.
Ответ. Нужно построить вектор CD той же длины и в том же направлении, что и AB. Тогда CD = AB по двум признакам равенства векторов.
Ошибка — считать векторы равными только потому, что их длины совпадают. Так происходит, когда сравнивают лишь размер стрелок и не замечают, что одна может смотреть в противоположную сторону. Проверьте себя: отдельно сравните направление, представив векторы отложенными из одного начала. Если стрелки не сонаправлены, равенства нет.
Ошибка — считать равными любые сонаправленные векторы. Можно упустить длину, потому что стрелки лежат на параллельных прямых и направлены одинаково. Проверьте, совпадут ли их концы, если совместить начала: при разных длинах концы окажутся в разных местах, значит, векторы не равны.
Ошибка — требовать, чтобы равные векторы имели общее начало. На рисунке стрелки в разных местах выглядят как разные объекты, поэтому их положение легко принять за часть определения. Но перенос не меняет ни длину, ни направление. Для проверки сравните эти характеристики, а не координаты начал.
Ошибка — путать равные векторы с одинаковыми по длине, но противоположно направленными. Равенство длин может отвлечь от того, куда указывает каждая стрелка. Проследите путь от начала к концу: если один вектор направлен навстречу другому, они не равны, даже когда длины совпадают.
Для работы с равенством векторов нужно знать, что такое направленный отрезок и как обозначают вектор: порядок начала и конца определяет направление. Сравнение также опирается на длину отрезка, параллельность прямых и понятие направления. Позже равные векторы можно переносить, чтобы удобнее выполнять сложение и вычитание. Эти знания применяются и в задачах о параллелограммах, где противоположные стороны связаны параллельностью и равенством длин.
Могут ли равные векторы иметь разные начала?
Да. Положение начала не влияет на вектор: достаточно, чтобы длины были равны, а направления совпадали. Поэтому равный вектор можно отложить из другой точки.
Достаточно ли равенства длин, чтобы векторы были равны?
Нет. Нужно также, чтобы векторы были сонаправлены. При одинаковых длинах и противоположных направлениях векторы не равны.
Чем равные векторы отличаются от сонаправленных?
Сонаправленные векторы направлены в одну сторону вдоль параллельных прямых, но могут иметь разные длины. Равные векторы обязательно и сонаправлены, и одинаковы по длине.
Равны ли векторы одинаковой длины, направленные в противоположные стороны?
Нет. Хотя длины таких векторов совпадают, они направлены в разные стороны. Для равенства требуются одновременно одинаковая длина и сонаправленность.
Как построить вектор, равный данному, из другой точки?
Из новой точки отложите направленный отрезок той же длины и в том же направлении, что и данный вектор. Проверьте оба признака: равенство длин и сонаправленность.
1.3. Равенство векторов
