1.2. Равенство векторов

Определения и обозначения

Равные векторы — это векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины; равенство записывают так: a = b. Иначе говоря, оба вектора должны совпасть по длине и смотреть в одну сторону. Это определение позволяет сравнивать векторы независимо от того, где они нарисованы.

Сонаправленные векторы лежат на одной или параллельных прямых и направлены в одну сторону. Например, если два направленных отрезка идут слева направо по параллельным прямым, они сонаправлены. Это понятие нужно, чтобы проверять направление в условии равенства.

Противоположно направленные векторы лежат на одной или параллельных прямых, но направлены в разные стороны. Так можно описать, например, отрезки на параллельных прямых, один из которых направлен слева направо, а другой — справа налево. Такое сравнение помогает отличить направление векторов, даже когда длины совпадают.

Нулевой вектор — вектор нулевой длины. Его начало и конец совпадают, поэтому у него нет определённого направления. Это нужно учитывать при сравнении: к нему нельзя применять проверку направления так же, как к ненулевым векторам.

Как это устроено

Совпадение длин само по себе не гарантирует равенства, потому что у вектора есть не только размер, но и направление. Например, два одинаковых по длине отрезка могут быть направлены в противоположные стороны. Поэтому при сравнении сначала выясняют, равны ли длины, а затем — сонаправлены ли векторы; только совпадение обоих признаков даёт равенство.

Если векторы заданы направленными отрезками, сравнение можно провести прямо по чертежу или по условию. Сначала проверяют, одинаковы ли длины отрезков, а после этого устанавливают, лежат ли они на одной или параллельных прямых и направлены ли в одну сторону. Если длины разные или направления противоположны, векторы не равны.

Равные векторы могут иметь разные начальные и конечные точки, потому что в определении не требуется совпадения их расположения. Достаточно, чтобы длина и направление совпали: перенос направленного отрезка параллельно самому себе не меняет этих характеристик. Поэтому два равных вектора могут находиться на разных параллельных прямых.

Чтобы отложить от точки O вектор, равный данному AB, из O проводят направленный отрезок нужной длины. Его направление должно совпадать с направлением AB, а длина — быть равной длине AB. Полученный вектор равен AB по определению, даже если новый отрезок не проходит через A или B.

Сонаправленность — только один из двух признаков равенства: длины тоже должны быть одинаковыми. Поэтому сонаправленные векторы разной длины не равны. Если же один из сравниваемых векторов нулевой, его направление не проверяют: нулевые векторы равны между собой по принятому определению нулевого вектора.

Как определить отношение между двумя векторами

Сначала определите, нулевой ли один из векторов: для нулевого направление не сравнивают. Для двух ненулевых векторов найдите длины и проверьте сонаправленность. Равенство подтверждается только тогда, когда выполнены оба условия.

Разбор задач

Задача 1. Даны два направленных отрезка одинаковой длины, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Определить, задают ли они равные векторы.

1. По условию длины отрезков одинаковы, значит, первый признак равенства векторов выполнен.
2. Прямые параллельны, а отрезки направлены в одну сторону, поэтому векторы сонаправлены.
3. Оба необходимых признака выполнены одновременно, следовательно, векторы равны.

Ответ: да, отрезки задают равные векторы.

Задача 2. Даны точки A(1; 2), B(4; 3), C(−2; 0), D(1; 1). Определить, равны ли векторы AB и CD.

1. Для координат вектора вычитаем координаты начала из координат конца: AB = (4 − 1; 3 − 2) = (3; 1).
2. Аналогично находим CD = (1 − (−2); 1 − 0) = (3; 1).
3. Получены одинаковые пары координат. Значит, длины и направления векторов совпадают, и векторы равны.

Ответ: AB = CD.

Задача 3. Построить вектор, равный вектору AB, с началом в точке O; затем объяснить, почему векторы равны.

1. Из точки O проведём прямую, параллельную прямой AB. Выберем на ней сторону, соответствующую направлению от A к B.
2. На выбранном луче отложим от O отрезок длиной AB и обозначим его конец, например, точкой M. Получится вектор OM.
3. У векторов AB и OM одинаковая длина, а направления совпадают. По определению это равные векторы.

Ответ: искомый вектор — OM, построенный той же длины и в том же направлении, что и AB.

Типичные ошибки

• Считать равными векторы только из-за одинаковой длины. Так можно пропустить, что они направлены в разные стороны: длина не описывает направление. Проверьте отдельно, сонаправлены ли векторы; если направления противоположны, равенства нет.
• Требовать от равных векторов общую прямую или совпадающие концы. Такое требование возникает, если путать сам вектор с его конкретным изображением. Сверьте длину и направление: если оба признака совпадают, разные положения отрезков не мешают равенству.
• Считать любые сонаправленные векторы равными. Они могут смотреть в одну сторону, но иметь разную длину. Перед выводом о равенстве сравните длины; несовпадение длин означает, что векторы не равны.
• Приписывать нулевому вектору направление. Его направленный отрезок имеет совпавшие начало и конец, поэтому направление определить нельзя. Проверьте длину: для нулевого вектора она равна нулю, а направление при сравнении не указывают.

Связь с другими темами

Для сравнения векторов нужно знать, что вектор задаётся направленным отрезком, и уметь находить его длину. При проверке направления используются понятия сонаправленности, противоположной направленности и параллельных прямых. Равенство векторов пригодится при построениях с заданным началом, при действиях над векторами и в координатном методе. В координатах равенство удобно проверять, сравнивая соответствующие координаты векторов.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковую длину.
• Равные векторы сонаправлены.
• Равенство векторов не зависит от положения на плоскости или в пространстве.
• Сонаправленность сама по себе не гарантирует равенства векторов.
• Нулевой вектор имеет нулевую длину, но не имеет определённого направления.