39. Равенство векторов

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указаны начало и конец. Его длина равна длине изображающего его отрезка. Направление задаёт порядок точек: вектор из A в B отличается от вектора из B в A. Так отрезок превращается в объект, который можно сравнивать с другими векторами.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления. Равенство записывают так: a = b, где a и b — обозначения векторов. Например, векторы могут начинаться в разных точках, но быть равными. Это определение позволяет сравнивать не только отрезки, но и их направленные изображения.

Нулевой вектор — вектор длины ноль, у которого начало и конец совпадают. Его обычно обозначают 0. Направление такого вектора не определено: нельзя указать, в какую сторону направлен отрезок нулевой длины. Это понятие нужно, чтобы отдельно учитывать случай, когда перемещения из одной точки в другую фактически нет.

Направление вектора — его ориентация, задаваемая направленной прямой. Векторы с одинаковым направлением параллельны и ориентированы в одну сторону. Если параллельные векторы смотрят в противоположные стороны, направления у них разные. Сравнение направлений необходимо, потому что одной длины для равенства недостаточно.

Как это устроено

Представьте два отрезка одинаковой длины: один направлен вправо, другой — влево. Их длины совпадают, но движение по ним приводит к разным результатам, поэтому векторы не равны. Бывает и наоборот: направление одинаковое, но один вектор длиннее другого. Значит, равенство требует сразу двух совпадений — длины и направления.

Равные векторы могут быть изображены отрезками с разными началами. Если мысленно передвинуть один из таких отрезков параллельно самому себе, его длина и направление сохранятся. При подходящем переносе начала отрезков совпадут, а вместе с ними совпадут и концы. Это наглядно показывает, почему равные векторы можно совместить параллельным переносом.

Место, где нарисован отрезок, не входит в определение вектора: его определяют длина и направление. Поэтому отрезки, расположенные в разных частях плоскости или пространства, могут изображать один и тот же вектор. Если бы равенство зависело от положения, перенос отрезка менял бы вектор, хотя ни его длина, ни направление не изменились. Именно поэтому при сравнении не учитывают координаты начальных точек как отдельный признак.

На чертеже сначала проверьте, параллельны ли прямые, на которых лежат изображающие отрезки. Затем проследите за стрелками: они должны быть ориентированы в одну сторону, а не навстречу друг другу. Наконец, сравните длины отрезков, например по клеткам или с помощью измерения. Только сочетание всех этих проверок позволяет сделать вывод о равенстве.

У нулевого вектора длина равна нулю, а длина ненулевого вектора положительна. Поэтому ни один ненулевой вектор не может быть ему равен, даже если его изображающий отрезок направлен вдоль той же прямой. Два нулевых вектора равны, поскольку у обоих одинаковая длина. Их направление сравнивать не требуется: оно не определено.

Как сравнивать векторы

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сравните направление, затем длину. Совпадение положения отрезков не является обязательным условием, а параллельность сама по себе ещё не доказывает равенство. Для нулевого вектора отдельно проверьте длину: она должна быть равна нулю у обоих векторов.

Разбор задач

Задача 1. На параллелограмме ABCD укажите пары равных векторов и обоснуйте ответ. Напомним, вершины параллелограмма перечислены по порядку. У противоположных сторон равны длины и они параллельны, но при записи векторов нужно дополнительно учитывать стрелки. Сравним направления соответствующих сторон.

1. В параллелограмме AB параллелен DC, а длины AB и DC равны. Векторы AB и DC направлены в одну сторону, поэтому AB = DC.
2. Стороны AD и BC параллельны и равны. Векторы AD и BC также ориентированы одинаково, следовательно, AD = BC.
3. Если поменять порядок букв в одном из векторов, направление развернётся. Например, AB и CD направлены противоположно, поэтому равными они не являются.

Ответ: AB = DC и AD = BC. Равенство следует не только из равенства противоположных сторон, но и из согласованного направления векторов.

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ сравните векторы AB и D₁C₁. Эти отрезки изображают параллельные рёбра, расположенные на разных гранях. Одного этого наблюдения мало: нужно проверить длины и направление. Рассуждение опирается на устройство параллелепипеда.

1. Все рёбра параллелепипеда, параллельные AB, имеют ту же длину, значит, AB = D₁C₁ как длины отрезков.
2. Вектор AB направлен от A к B. Вектор D₁C₁ направлен от D₁ к C₁, то есть параллельно AB и в ту же сторону.
3. Длины и направления совпадают, поэтому векторы равны.

Ответ: AB = D₁C₁. Разное положение рёбер на фигуре выводу не мешает.

Задача 3. Точки M и N — середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите равенство векторов AM и NC. Середина делит сторону на два равных отрезка, поэтому длины искомых векторов связаны с половинами противоположных сторон. После сравнения длин проверим направление.

1. Так как M — середина AB, то AM = ½AB по длине, а направление вектора AM совпадает с направлением AB.
2. Так как N — середина CD, то NC = ½CD по длине. В параллелограмме AB = CD как длины сторон, поэтому длины AM и NC одинаковы.
3. Вектор NC направлен от середины CD к точке C. Он параллелен AB и ориентирован так же, как AB, следовательно, как AM.
4. У векторов AM и NC совпали длины и направления, значит, AM = NC.

Ответ: AM = NC, что и требовалось доказать.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Такое сравнение пропускает направление: одинаковые отрезки могут быть ориентированы по-разному. Обычно путают длину самого отрезка с характеристикой всего вектора. Проверьте себя: совпадают ли стрелки по ориентации, а не только концы отрезков по расстоянию?

Вторая ошибка — объявлять равные векторы разными, потому что их начала не совпадают. Так бывает, если воспринимать вектор только как конкретный отрезок на рисунке. Перенос отрезка параллельно самому себе не меняет ни длину, ни направление. Чтобы проверить вывод, мысленно совместите начала векторов и сравните их стрелки.

Третья ошибка — не учитывать ориентацию параллельных отрезков. Параллельность означает, что направления лежат на параллельных прямых, но стрелки могут смотреть в противоположные стороны. Это часто упускают, рассматривая только форму фигуры. Сравните, куда направлен каждый вектор: встречные стрелки исключают равенство.

Четвёртая ошибка — приписывать направление нулевому вектору. У него совпадают начало и конец, поэтому стрелка не показывает, куда он направлен. Привычка искать направление у каждого отрезка здесь приводит к неверному рассуждению. Проверьте сначала длину: если она равна нулю, направление не определено.

Связь с другими темами

Перед изучением равенства векторов нужно знать, что такое направленный отрезок, как находить длину отрезка, а также понимать параллельность прямых и направление. Эти понятия позволяют определить, совпадают ли два главных признака вектора. Равенство векторов затем используется при изучении сложения и вычитания векторов. Оно также помогает решать задачи о параллелограммах и пространственных фигурах, где равные параллельные рёбра изображают одинаковые векторы.

Что запомнить

• Векторы равны, если у них одинаковы длина и направление.
• Начальные точки равных векторов могут не совпадать.
• Равные векторы можно совместить параллельным переносом.
• Параллельность изображающих отрезков сама по себе не доказывает равенство векторов.
• Векторы, направленные в противоположные стороны, не равны.
• Нулевой вектор имеет длину 0, а его направление не определено.