§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Суммой векторов a и b называют вектор, который получают, отложив b от конца a; обозначают его a + b. Это определение связывает сложение с последовательностью двух перемещений: сначала совершают перемещение a, затем b. Поэтому результат показывает общее перемещение от начальной точки к конечной.

Правило треугольника — способ построить сумму: второй вектор располагают так, чтобы его начало совпало с концом первого. Сумма — вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго. Правило удобно тем, что превращает сложение векторов в наглядное построение и позволяет работать с векторами, первоначально приложенными к разным точкам.

Разность векторов a и b — это сумма уменьшаемого вектора a и вектора, противоположного вычитаемому b; её обозначают a − b. Вектор −b равен b по длине, но направлен в обратную сторону. Такое определение нужно, чтобы выполнять вычитание теми же геометрическими действиями, что и сложение.

Произведением вектора a на число λ называют вектор λa: его длина равна |λ|·|a|, а направление зависит от знака λ. При положительном λ направление сохраняется, при отрицательном становится противоположным. Это действие позволяет изменять длину вектора и, при необходимости, разворачивать его; символ |λ| означает модуль числа.

Как это устроено

Векторы считаются свободными: их можно параллельно переносить, сохраняя длину и направление. Поэтому для правила треугольника не имеет значения, где b был изображён сначала: достаточно перенести его начало в конец a. Тогда конец перенесённого вектора показывает, где окажется точка после двух последовательных перемещений, а соединяющий её с исходной точкой вектор и есть a + b.

Правило параллелограмма строится иначе: начала a и b помещают в одну точку, а через концы векторов проводят прямые, параллельные другим сторонам. Получается параллелограмм, у которого a и b — стороны, выходящие из общей вершины. Его диагональ из этой вершины равна a + b, потому что её можно представить как перемещение сначала вдоль одной стороны, затем вдоль другой. Это тот же результат, что и по правилу треугольника, только оба слагаемых сразу видны из одной точки.

Сложение векторов переместительно: a + b = b + a. При построении параллелограмма диагональ не зависит от того, какую из двух сторон считать первым слагаемым, поэтому перестановка не меняет сумму. Сложение также сочетательно: (a + b) + c = a + (b + c), поскольку оба выражения описывают одно общее перемещение по трём векторам. Есть нулевой вектор 0, который не меняет сумму, и для каждого a существует противоположный −a, такой что a + (−a) = 0.

Вычитание сводится к сложению: a − b = a + (−b). Чтобы построить разность, нужно изменить направление b на противоположное и применить правило треугольника или параллелограмма. Это объясняет, почему разность зависит от порядка: a − b = a + (−b), тогда как b − a = b + (−a). Эти два результата противоположны, то есть a − b = −(b − a).

При умножении на положительное число вектор растягивается или укорачивается, но не разворачивается: длина умножается на λ. Если множитель отрицательный, длина умножается на его модуль, а направление меняется на противоположное. При λ = 0 длина становится нулевой, поэтому получается нулевой вектор; при λ = 1 длина и направление сохраняются, так что 1a = a. Именно знак и модуль множителя позволяют отдельно определить направление и длину результата.

Действия над векторами

Чтобы выбрать нужную строку, сначала определи, какое действие требуется выполнить, а затем сверь построение и обозначение. В последнем столбце собраны свойства, которые помогают проверить результат или упростить выражение. Для вычитания особенно полезно сначала переписать выражение как сложение с противоположным вектором.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы a и b. Построить вектор a + b по правилу треугольника. Здесь важно не складывать длины наугад, а расположить векторы последовательно: результат определяется и длиной, и направлением обоих слагаемых.

1. Отметь начало и конец вектора a.
2. Параллельно перенеси b так, чтобы его начало совпало с концом a; длина и направление b при переносе не меняются.
3. Проведи вектор от начала a к концу перенесённого b. По определению это и есть сумма.

Ответ: искомый вектор направлен от начала a к концу b, отложенного от конца a. Если оба вектора уже расположены таким образом, дополнительный перенос не нужен. Проверь построение: конец первого должен совпасть с началом второго.

Задача 2. Даны векторы a и b. Построить a − b и сравнить его с b − a. Смысл сравнения в том, чтобы увидеть, как меняется результат, когда меняется порядок вычитания. Напрямую сравнивать длины недостаточно — нужно учитывать направления.

1. Замени a − b суммой a + (−b): построй −b, равный b по длине и направленный противоположно.
2. Отложи −b от конца a и соедини начало a с концом −b; получишь a − b.
3. Для b − a построй b + (−a). При перестановке концов соответствующих построений получается тот же отрезок в обратном направлении.

Ответ: b − a = −(a − b). Значит, эти векторы равны по длине и противоположны по направлению; если a = b, оба результата будут нулевыми. Результат служит проверкой: поменяв порядок вычитания, нужно развернуть полученный вектор.

Задача 3. В параллелограмме ABCD выразить AC через AB и AD, затем найти вектор, равный 2AB − AD. Обозначим AB как вектор a, а AD как вектор d; точки обозначены в порядке обхода параллелограмма. Сначала удобно найти диагональ, а затем применить к векторам правила умножения и вычитания.

1. Векторы AB и AD выходят из точки A, поэтому по правилу параллелограмма диагональ AC равна AB + AD.
2. В выражении 2AB постройте вектор, сонаправленный с AB и вдвое длиннее: это умножение на положительное число 2.
3. Замените −AD вектором, равным AD по длине и противоположным по направлению, затем сложите его с 2AB по правилу треугольника.

Ответ: AC = AB + AD, а искомый вектор равен 2AB + (−AD). Для его построения отложи два последовательных вектора AB в одном направлении, а затем от конца полученного вектора отложи −AD. Соедини начало первого построения с конечной точкой последнего.

Типичные ошибки

Если второй вектор откладывают от начала первого, правило треугольника нарушается: получается другое расположение, и соединяющий векторы результат может быть неверным. Так ошибаются, потому что воспринимают сложение как соединение любых концов. Проверь себя: начало второго вектора должно совпасть именно с концом первого.

Вычитание длин не даёт разность векторов, поскольку длина не описывает направление. Ошибка возникает, когда знак «минус» принимают за обычное вычитание чисел, хотя вектор может быть направлен под любым углом. Проверь решение по определению: замени a − b на a + (−b) и построй противоположный b.

При умножении на отрицательное число недостаточно изменить только длину: нужно развернуть направление. Ученик может запомнить умножение длины на модуль числа и забыть, что знак отвечает за ориентацию. Проверь ответ отдельно по двум признакам: длина должна умножиться на |λ|, а при λ < 0 вектор должен смотреть в противоположную сторону.

Равенство a − b = b − a обычно неверно, потому что вычитание не обладает переместительным свойством. Путаница возникает из-за переместительного свойства сложения, которое действует только после правильной замены вычитания сложением с противоположным вектором. Для проверки переставь векторы и сравни направления: b − a = −(a − b), а не a − b.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно уметь изображать их, сравнивать длины и направления и переносить вектор параллельно самому себе. Эти действия опираются на представление о равных векторах: они могут быть приложены к разным точкам, но совпадают по длине и направлению. Без такого переноса нельзя правильно использовать правило треугольника для свободных векторов.

Правило параллелограмма связывает векторные действия со свойствами этой фигуры и помогает находить диагональ через стороны. Сложение и умножение на число пригодятся при разложении вектора по выбранным направлениям, когда искомый вектор выражают через другие. Те же приёмы применяют в задачах по геометрии в пространстве.

Что запомнить

• Сумма a + b строится по правилу треугольника или параллелограмма.
• При сложении можно менять слагаемые местами и группировать их.
• Вычесть вектор — значит прибавить противоположный: a − b = a + (−b).
• Разность меняет знак при перестановке векторов: a − b = −(b − a).
• При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа.
• Отрицательный множитель меняет направление вектора на противоположное.
• Нулевой множитель даёт нулевой вектор.