"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Векторы можно складывать, вычитать и умножать на числа — так из нескольких направленных отрезков получают один результат. Эти действия помогают описывать перемещения и силы, строить геометрические фигуры и решать задачи в координатах. Сумму строят по правилу треугольника или параллелограмма, разность заменяют сложением с противоположным вектором. При умножении длина меняется в несколько раз, а направление зависит от знака числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение векторов — действие, при котором двум векторам ставят в соответствие новый вектор, называемый их суммой. Его обозначают a + b, где a и b — исходные векторы. Сумма передаёт общий результат двух перемещений, выполненных одно за другим. Поэтому с помощью неё можно заменить несколько направленных отрезков одним.
Правило треугольника — способ построить сумму, перенеся начало второго вектора к концу первого. Вектор-сумму проводят от начала первого к концу перенесённого второго. Так расположенные векторы образуют две стороны треугольника, а сумма — его третью сторону с нужным направлением. Правило удобно применять, когда векторы уже заданы последовательно.
Разность векторов a и b — это сумма a и вектора, противоположного b: a − b = a + (−b). Противоположный вектор −b равен b по длине, но направлен в обратную сторону. Значит, вычитание можно выполнить тем же построением, что и сложение, предварительно развернув вычитаемый вектор. Это позволяет не вводить отдельное правило построения разности.
Умножение вектора a на число k даёт вектор ka длиной |k| · |a|. При положительном k его направление совпадает с направлением a, при отрицательном — противоположно; при k = 0 получается нулевой вектор. Здесь |k| — модуль числа, то есть его значение без знака. Так можно изменить длину вектора в заданное число раз и при необходимости изменить его направление.
Правило треугольника работает потому, что перенос вектора параллельно самому себе не меняет его: сохраняются и длина, и направление. Поэтому второй вектор можно передвинуть так, чтобы его начало оказалось в конце первого. Тогда перемещение сначала по a, затем по b приводит из начальной точки прямо в конечную точку второго вектора. Этот прямой переход и есть сумма a + b.
Если у двух векторов общее начало, сумму можно построить и по правилу параллелограмма. Через конец каждого вектора проводят прямую, параллельную другому вектору, и достраивают фигуру. Диагональ, выходящая из общего начала, равна сумме: её можно представить как последовательный переход вдоль сторон параллелограмма. Этот способ особенно нагляден, когда оба вектора уже расположены от одной точки.
Перестановка слагаемых и изменение группировки не меняют сумму: a + b = b + a и (a + b) + c = a + (b + c). При перестановке можно представить стороны параллелограмма в обратном порядке: диагональ, задающая результат, остаётся той же. При сложении нескольких векторов достаточно соединить их последовательно, и точка начала и точка конца не зависят от того, какие соседние перемещения мысленно объединили первыми. Эти свойства упрощают построения и вычисления.
Чтобы вычесть b из a, строят вектор −b, равный b по длине и направленный в обратную сторону. Затем к a прибавляют −b по правилу треугольника или параллелограмма. Именно поэтому a − b = a + (−b): переход на −b отменяет переход на b, а значит, задаёт вычитание. Например, если сначала пройти по b, а затем по −b, мы вернёмся в исходную точку.
При умножении на число знак отвечает за направление, а модуль — за длину. Если k положительно, вектор остаётся сонаправленным с исходным; если k отрицательно, направление разворачивается, поскольку отрицательный множитель задаёт противоположный вектор. Длина не может быть отрицательной, поэтому её умножают не на k, а на |k|. При k = 0 длина становится нулевой, и результатом служит нулевой вектор.
| Действие | Построение или смысл | Направление результата | Длина результата |
|---|---|---|---|
| Сложение векторов | Второй вектор переносят к концу первого | От начала первого к концу второго | Зависит от длин и угла между векторами |
| Вычитание векторов | К первому прибавляют противоположный второму | Как у суммы a + (−b) | Зависит от длин и угла между a и −b |
| Умножение вектора на положительное число | Длину умножают на число | Совпадает с исходным | |k| · |a| |
| Умножение вектора на отрицательное число | Длину умножают на модуль числа | Противоположно исходному | |k| · |a| |
| Умножение вектора на ноль | Результат — нулевой вектор | Направление не задаётся | 0 |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать построение и не перепутать направление результата с его длиной. Для сложения и вычитания длина не всегда равна простой сумме длин: она зависит от взаимного расположения векторов. При умножении на число длина определяется модулем множителя.
Даны векторы a и b с общим началом. Нужно построить их сумму. Поскольку начала уже совпадают, удобно применить правило параллелограмма, а не переносить один вектор для правила треугольника. Диагональ из общей точки покажет и длину, и направление результата.
Ответ: вектор OD = a + b. Проверить построение можно другим способом: перенести b так, чтобы его начало совпало с A, и соединить O с новым концом b. Получится тот же результат, потому что правила треугольника и параллелограмма описывают одну сумму.
На одной прямой отложены сонаправленные векторы a и b длиной 3 и 5. Требуется найти длину и направление a + b. Сонаправленность означает, что векторы указывают в одну сторону, поэтому их последовательное действие увеличивает общий путь. Значит, длины нужно сложить, а направление сохранить.
Ответ: длина a + b равна 8, направление — общее направление a и b. Здесь длины складываются именно потому, что векторы сонаправлены. Если бы они были направлены противоположно, результат зависел бы от разности длин.
Даны A(1; 2), B(4; 3), C(−2; 5). Найдём координаты AB − 2AC. Сначала определим координаты каждого вектора как разность координат его конца и начала. Затем умножим AC на 2 и вычтем его координаты из координат AB. Покоординатная запись позволяет выполнить геометрические действия обычными вычислениями.
Ответ: AB − 2AC = (9; −5). Знак минус в первой координате AC учтён при умножении, поэтому вычитание −6 превратилось в сложение 6. Для проверки можно раскрыть вычитание через противоположный вектор: AB + (−2AC) даёт те же координаты.
При построении суммы иногда соединяют начала векторов и считают полученный отрезок результатом. Такое построение не учитывает последовательное действие перемещений: конец второго вектора должен соединяться с концом первого после переноса. Ошибку допускают, если помнят только о двух исходных отрезках, но забывают, что вектор задаётся ещё и направлением. Проверь себя: в правиле треугольника путь должен идти от начала первого вектора к концу второго.
При вычитании можно забыть заменить вычитаемый вектор противоположным и построить сумму a + b. Это происходит, когда знак минус воспринимают как часть записи, а не как изменение направления b. Перед построением явно запиши a − b = a + (−b), затем разверни b. Проверка: вектор −b должен иметь ту же длину, что b, и смотреть в обратную сторону.
Умножая вектор на отрицательное число, иногда меняют только длину и оставляют прежнее направление. Причина в том, что знак числа легко упустить, сосредоточившись на масштабе. Но отрицательный множитель меняет направление на противоположное, а длину увеличивает или уменьшает в |k| раз. Проверь знак множителя отдельно от вычисления длины: для k < 0 результат обязан быть направлен против исходного вектора.
Ещё одна ошибка — умножать длину вектора на само число, включая его знак. Например, при множителе −2 длина не может стать отрицательной, хотя направление действительно меняется. Длину умножают на модуль множителя: |ka| = |k| · |a|. Чтобы проверить ответ, убедись, что длина неотрицательна, а знак числа учтён в направлении, а не в длине.
Для работы с векторами нужно знать, что такое вектор, его длина и направление, а также когда два вектора равны. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому один можно переносить параллельно самому себе без изменения. Умение переносить векторы помогает применять правило треугольника и строить параллелограмм. В координатных задачах действия над векторами превращаются в вычисления по отдельным координатам.
Сложение и умножение на число пригодятся при разложении вектора по выбранным направлениям: исходный вектор представляют как сумму удобных составляющих. Те же приёмы используются в задачах на координаты и при изучении геометрии в пространстве. В пространстве к координатам добавляется ещё одна составляющая, но правила действий остаются аналогичными. Поэтому освоенные сейчас построения станут основой для более сложных задач.
Почему при сложении векторов можно переносить один из них?
Вектор определяется длиной и направлением, а не тем, где именно он расположен. Поэтому его можно перенести параллельно самому себе, сохранив длину и направление. Это позволяет совместить конец первого вектора с началом второго.
Чем отличаются правило треугольника и правило параллелограмма?
По правилу треугольника второй вектор переносят так, чтобы его начало совпало с концом первого, а сумму проводят от начала первого к концу второго. По правилу параллелограмма векторы располагают с общим началом и достраивают параллелограмм. Сумма в обоих случаях — диагональ, направленная из общего начала.
Как построить разность двух векторов?
Нужно построить вектор, противоположный вычитаемому, и прибавить его к первому вектору. Противоположный вектор имеет ту же длину, но обратное направление. Поэтому a − b = a + (−b).
Что происходит с вектором при умножении на отрицательное число?
Его направление становится противоположным исходному. Длина при этом умножается на модуль числа, то есть на его значение без знака. Например, при умножении на −3 длина увеличивается втрое.
Как найти длину вектора, умноженного на число?
Длину исходного вектора нужно умножить на модуль множителя: |ka| = |k| · |a|. Модуль нужен потому, что длина не бывает отрицательной. Если множитель равен нулю, получается нулевой вектор.
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
