2.1. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Если начало обозначено A, а конец B, пишут вектор AB со стрелкой; его длина обозначается |AB| или |a|. В отличие от обычного отрезка, вектор передаёт не только расстояние между точками, но и направление движения от начала к концу.

Сумма двух векторов a и b — вектор, который получается при их сложении; её обозначают a + b. Геометрически сумма показывает общий результат двух последовательных перемещений: сначала на вектор a, затем на b. Это позволяет заменить несколько перемещений одним.

Противоположный вектор к a обозначают −a. Он имеет ту же длину, что и a, но направлен в обратную сторону. Такой вектор нужен, чтобы обратить перемещение или заменить вычитание сложением.

Разность векторов a и b — это сумма уменьшаемого вектора a и вектора, противоположного вычитаемому b: a − b = a + (−b). Это определение сводит вычитание к уже знакомому построению суммы и помогает верно установить направление результата.

Как это устроено

Чтобы сложить векторы по правилу треугольника, перенесите второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого. Перенос не меняет вектор, если сохраняются его длина и направление. Затем соедините начало первого с концом второго и направьте стрелку к последнему концу: полученный вектор и есть сумма. Такой порядок отражает последовательное выполнение двух перемещений.

Если начала векторов совпадают, можно построить параллелограмм, проведя через концы векторов прямые, параллельные другим сторонам. Диагональ из общего начала будет суммой. Действительно, противоположную сторону параллелограмма можно рассматривать как перенос второго вектора к концу первого, поэтому диагональ совпадает с результатом правила треугольника. Правило параллелограмма особенно удобно, когда оба вектора уже выходят из одной точки.

Порядок слагаемых не влияет на сумму: a + b = b + a. На чертеже это видно по диагонали параллелограмма: она одна и та же, хотя стороны-векторы можно поменять местами. При сложении нескольких векторов можно также менять группировку: (a + b) + c = a + (b + c). Результат остаётся тем же, потому что итоговое перемещение идёт от начала первого вектора к концу последнего.

Чтобы построить −a, отложите вектор той же длины, что и a, но в противоположном направлении. Например, если a направлен из точки A в точку B, то равный ему по длине вектор из B в A будет противоположным. При последовательном сложении a и −a перемещение возвращает в исходную точку, поэтому их сумма — нулевой вектор: a + (−a) = 0.

По определению a − b = a + (−b), поэтому для вычитания сначала меняют направление вычитаемого вектора, а затем складывают. Если векторы a и b имеют общее начало O и их концы обозначены A и B, результатом будет вектор от B к A. Именно такой направленный отрезок соединяет конец вычитаемого с концом уменьшаемого, а порядок концов менять нельзя.

Сложение и вычитание векторов

В таблице выберите нужное действие и следуйте построению в средней колонке. Последняя колонка помогает проверить направление и вид результата. Для вычитания сначала обязательно замените вычитаемый вектор противоположным.

Разбор задач

Построить сумму двух неколлинеарных векторов

Пусть на чертеже заданы векторы a и b, которые не лежат на одной прямой. Нужно изобразить a + b. Поскольку положение вектора на плоскости можно менять параллельным переносом, сначала удобно оставить a на месте, а b перенести к нему. Так получится последовательное сложение.

1. Отметьте начало и конец вектора a.
2. Перенесите b так, чтобы его начало совпало с концом a; направление и длину b сохраните.
3. Проведите стрелку от начала a к концу перенесённого b.

Полученная стрелка показывает суммарное перемещение. Не соединяйте начала исходных векторов: это не соответствует правилу треугольника. Ответ: вектор от начала a к концу перенесённого b.

Выразить вектор AC через AB и AD

В параллелограмме ABCD даны три вершины, и требуется выразить диагональ AC. Из точки A выходят векторы AB и AD, то есть они имеют общее начало и являются соседними сторонами параллелограмма. Поэтому можно применить правило параллелограмма или пройти от A к C через B. Оба построения приводят к одной сумме.

1. По правилу параллелограмма диагональ, выходящая из A, равна сумме векторов AB и AD.
2. Либо запишите путь через вершину B: AC = AB + BC.
3. В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому BC = AD.

Подставив BC = AD, получаем тот же результат, что и по правилу параллелограмма. Ответ: AC = AB + AD. При записи важно использовать вектор AD, а не DA, поскольку направления этих векторов противоположны.

Построить OA − OB

Из общего начала O выходят векторы OA и OB. Нужно построить OA − OB и объяснить его направление. Нельзя просто соединить концы в случайном порядке: порядок задаёт, какой вектор вычитают из другого. Переведём задачу к сложению с противоположным вектором.

1. Постройте вектор, противоположный OB: он равен ему по длине и направлен от B к O.
2. Сложите OA и этот противоположный вектор по правилу треугольника либо достройте параллелограмм.
3. При общем начале исходных векторов используйте прямой результат: проведите стрелку от B к A.

Этот отрезок направлен от конца вычитаемого вектора OB к концу уменьшаемого OA. Если поменять концы местами, получится OB − OA, то есть противоположная разность. Ответ: вектор BA.

Типичные ошибки

При сложении иногда соединяют начала векторов, считая, что так получается сторона треугольника. Ошибка возникает, когда забывают о последовательности перемещений: начало второго должно стоять у конца первого. Проверьте построение по маршруту: стрелка суммы обязана соединять начало первого вектора с концом второго.

В правиле параллелограмма диагональ иногда проводят из вершины, не являющейся общим началом векторов. Это происходит, если перепутать сумму с другой диагональю. Проверьте, что оба слагаемых выходят из одной точки и искомая диагональ тоже начинается в этой точке.

Противоположный вектор порой изображают лишь в обратном направлении, не сохраняя длину. Направление действительно меняется, но длина должна остаться прежней, иначе это будет другой вектор. Сравните длины исходного и построенного векторов: они должны совпадать.

При вычитании можно ошибочно направить результат от конца уменьшаемого к концу вычитаемого. Так перепутаются a − b и b − a, потому что вычитание не переместительно. Для проверки перепишите разность как a + (−b); при общем начале стрелка должна идти от конца b к концу a.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно уметь изображать направленные отрезки, определять их длину и различать начало и конец. Эти навыки позволяют правильно переносить векторы и строить суммы на чертеже. Без верного направления невозможно определить ни сумму, ни разность.

Сложение и вычитание связаны с координатами вектора: координаты суммы находят сложением соответствующих координат, а координаты разности — их вычитанием. Геометрические правила дают наглядное объяснение этим вычислениям. Позже координаты помогут выполнять те же действия без построения чертежа.

Векторные действия применяются при решении задач о геометрических фигурах и перемещениях. Несколько шагов движения можно заменить одним результирующим вектором, а неизвестный вектор — выразить через известные. Эти приёмы также служат основой для разложения векторов на составляющие.

Что запомнить

• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• При сложении векторов можно менять местами слагаемые.
• При сложении нескольких векторов можно менять группировку.
• Противоположные векторы равны по длине и противоположны по направлению.
• Сумма противоположных векторов — нулевой вектор.
• Вычитание вектора заменяется сложением с противоположным вектором.
• Для векторов с общим началом A − B направлен от конца B к концу A.