§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Суммой векторов a и b называют вектор, обозначаемый a + b и получаемый при последовательном переносе: к концу первого вектора прикладывают начало второго. Такое сложение описывает два перемещения одно за другим. Итоговый вектор показывает общее перемещение — от исходной точки до конечной.

Векторы a и −a называют противоположными: они имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны. Знак «минус» меняет направление, а не длину вектора. Поэтому a + (−a) = 0, где 0 — нулевой вектор, у которого длина равна нулю.

Разность векторов a и b обозначают a − b и определяют как сумму a + (−b). Иными словами, вычитание заменяют сложением с вектором, противоположным вычитаемому. Такое определение позволяет пользоваться теми же правилами построения, что и для суммы.

Произведение вектора a на число k обозначают ka. При умножении длина меняется в |k| раз, а направление зависит от знака числа: положительный множитель сохраняет его, отрицательный разворачивает. Эта операция позволяет растягивать, укорачивать или менять направление вектора.

Как это устроено

Чтобы сложить a и b по правилу треугольника, перенесите их так, чтобы конец a совпал с началом b. Перенос допустим, потому что вектор определяется длиной и направлением, а не местом на плоскости. Тогда путь из двух последовательных отрезков заменяется одним вектором от начальной точки к конечной — это a + b.

Для правила параллелограмма оба вектора откладывают от одной точки и достраивают параллелограмм. Его диагональ из общего начала является суммой, поскольку стороны, параллельные исходным векторам, задают те же два последовательных перемещения. Если мысленно пройти по двум сторонам параллелограмма, получится правило треугольника; поэтому оба способа дают один и тот же вектор.

Вычитание строят, заменяя b на противоположный вектор −b, а затем прибавляя его к a. Причина такого приёма проста: движение на b и затем на −b взаимно уничтожается, поэтому −b отменяет вклад вычитаемого вектора. Если начала a и b совпадают, отрезок между их концами показывает разность: он направлен от конца b к концу a.

Умножение на число меняет масштаб вектора, поскольку каждый отложенный вдоль его направления отрезок становится в |k| раз длиннее или короче. При k > 0 направление остаётся прежним, а при k < 0 меняется на противоположное. При k = 0 длина становится нулевой, поэтому получается нулевой вектор независимо от исходного направления.

Сложение векторов переместительно: a + b = b + a, потому что диагональ построенного параллелограмма не зависит от того, какую сторону считать первой. Оно и сочетательно: (a + b) + c = a + (b + c), так как оба выражения описывают одно общее перемещение. Умножение распределяется относительно сложения векторов и чисел: k(a + b) = ka + kb, (k + m)a = ka + ma. Это следует из того, что умножение одновременно масштабирует каждую составляющую, а сложение чисел задаёт общий масштаб одного направления.

Операции над векторами: построение и свойства

Сначала выберите строку с нужной операцией, затем используйте указанное построение. В последнем столбце собраны запись результата и свойства, которые помогают проверять вычисления.

Разбор задач

1. Сложение по правилу треугольника

Постройте сумму заданных векторов a и b. Их начала могут находиться в разных точках, поэтому сначала нужно расположить векторы так, чтобы они образовали последовательный путь. Переносить вектор можно параллельно самому себе: его длина и направление при этом не меняются.

1. Обозначьте начало перенесённого вектора a точкой A, а его конец — точкой B.
2. Перенесите b так, чтобы его начало совпало с B; обозначьте его конец точкой C.
3. Проведите вектор из A в C. Он показывает итоговое перемещение после двух последовательных шагов.

Вектор AC и есть a + b, потому что путь A—B—C заменён прямым перемещением из A в C. Проверьте порядок: начало суммы должно совпадать с началом первого вектора, а конец — с концом второго. Ответ: сумма равна вектору AC.

2. Вычитание при общих началах

Пусть векторы a и b имеют общее начало O; нужно построить a − b. По определению это a + (−b), поэтому можно изменить направление b и применить правило треугольника. При общем начале есть и более короткий способ: соединить концы исходных векторов в нужном порядке.

1. Обозначьте концы a и b буквами A и B соответственно.
2. Проведите вектор от B к A, то есть от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.
3. Проверьте построение сложением: к этому результату можно прибавить b и получить a.

Полученный вектор BA направлен от конца b к концу a, поэтому он соответствует разности, а не сумме. Такая проверка помогает не перепутать направление при вычитании. Ответ: a − b = BA.

3. Упрощение выражения

Упростите 2a − 3(a − b) + b и изобразите результат через a и b. Здесь важно сначала учесть знак перед скобками: умножение на −3 меняет направление каждого слагаемого внутри. После раскрытия скобок однотипные векторы можно объединить, пользуясь распределительным свойством.

1. Замените −3(a − b) на −3a + 3b: множитель −3 относится к обоим слагаемым.
2. Запишите всё выражение без скобок: 2a − 3a + 3b + b.
3. Соберите коэффициенты при одинаковых векторах: (2 − 3)a + (3 + 1)b = −a + 4b.

Итак, результат — −a + 4b. Для построения сначала отложите −a, то есть вектор длины |a| в направлении, противоположном a, затем приложите к его концу вектор 4b. Вектор из начала первого отрезка к концу второго и будет ответом.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать длины векторов и считать, что длина суммы всегда равна сумме длин. Так поступают, перенося на векторы привычные действия с числами, но направления здесь тоже влияют на результат. Складывать длины напрямую можно лишь для сонаправленных векторов; проверка — построить сумму и сравнить её длину с длинами слагаемых.

Ошибка: при вычитании прибавлять сам вектор b вместо противоположного −b. Это происходит, когда знак минус воспринимают как часть записи, а не как смену направления. Для проверки замените разность суммой a + (−b) или убедитесь, что при общих началах результат направлен от конца b к концу a.

Ошибка: считать, что умножение на отрицательное число сохраняет направление. Отрицательный знак часто воспринимают только как изменение длины, хотя он указывает на разворот вектора. Проверьте направление результата: при k < 0 вектор ka должен смотреть в противоположную сторону относительно a.

Ошибка: записывать |ka| = k|a| при любом k и получать отрицательную длину. Причина — пропуск модуля множителя: длина не бывает отрицательной. Правильная проверка — использовать формулу |ka| = |k|·|a|; при k = −2 длина равна 2|a|, а не −2|a|.

Связь с другими темами

Перед изучением операций нужно уметь распознавать равные, сонаправленные и противоположно направленные векторы, а также откладывать вектор от заданной точки. Эти навыки нужны, чтобы переносить векторы и правильно задавать направление суммы или разности. Дальше сложение и умножение на число пригодятся при разложении векторов по направлениям, работе с координатами и решении задач стереометрии. В координатной записи те же действия выполняют отдельно с соответствующими координатами.

Что запомнить

• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• Перестановка слагаемых не меняет сумму векторов.
• Разность a − b равна сумме a + (−b).
• При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа.
• Отрицательный множитель меняет направление вектора на противоположное.
• Умножение вектора на ноль даёт нулевой вектор.