39. Равенство векторов

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху: AB направлен от точки A к точке B. Порядок букв здесь не просто называет концы, а задаёт, откуда и куда движутся. Это обозначение позволяет отличать один и тот же отрезок, пройденный в разных направлениях.

Вектор — направленный отрезок, который рассматривают с учётом его длины и направления. Вектор AB записывают как AB со стрелкой сверху; его длина обозначается |AB| или |AB| со стрелкой над буквами. Вектор можно представить разными направленными отрезками, если они одинаковы по длине и направлению. Поэтому вектор описывает не конкретное место на плоскости, а два важных свойства отрезка.

Равные векторы — векторы одинаковой длины, направленные в одну сторону. Равенство записывают так: AB = CD, где над каждой парой букв ставится стрелка. Проверка равенства нужна, чтобы понять, задают ли два изображённых отрезка один и тот же вектор, даже если они расположены в разных местах. Одного совпадения длин для этого недостаточно.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают, поэтому его длина равна нулю. Его обозначают, например, AA со стрелкой сверху или 0. Направление такого вектора не определено: если отрезок не имеет длины, он не указывает ни в какую сторону. Это особый случай, который нужно учитывать при сравнении и действиях с векторами.

Как это устроено

Для равенства векторов одновременно нужны одинаковая длина и одинаковое направление. Длина показывает, насколько далеко переместились от начала к концу, а направление — в какую сторону произошло перемещение. Если оставить только один признак, информация будет неполной: например, отрезки длиной 4 см могут лежать по-разному и задавать разные векторы. Поэтому равенство проверяют по обоим свойствам, а не по одному.

Направление направленного отрезка читают от первой точки во второй: у AB начало — A, конец — B. Если поменять буквы местами, получится BA, направленный от B к A. Для ненулевого отрезка AB и BA имеют одну длину, но противоположные направления, поэтому они не равны как векторы. Порядок точек в записи помогает не перепутать эти случаи.

Равные векторы могут быть изображены отрезками, которые не имеют общих точек. Это возможно потому, что вектор определяется длиной и направлением, а не своим местом на плоскости. Если передвинуть изображающий его отрезок параллельно, не поворачивая и не растягивая, длина и направление сохранятся. Значит, полученный отрезок будет задавать тот же вектор, хотя его начало окажется в другой точке.

На чертеже сначала сравнивают длины отрезков, затем смотрят, куда направлены стрелки от начал к концам. Если длины равны и стрелки указывают в одну сторону, векторы равны; если хотя бы одно условие нарушено, равенства нет. Не следует делать вывод только по названиям точек или по тому, что отрезки параллельны. Параллельность говорит о возможном совпадении направлений или противоположности, но сама по себе не устанавливает равенство.

Совпадение направленных отрезков означает, что у них совпадают точки начала и конца, а значит, равны и их длины, и направления. Поэтому они задают равные векторы. Но совпадение — лишь частный случай: равные векторы не обязаны начинаться в одной точке. Это различие позволяет сравнивать векторы, даже когда их изображения разнесены по чертежу.

Как сравнивать направленные отрезки и векторы

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала выясни, равны ли длины, затем сравни направления от начала к концу. Различное положение отрезков не мешает равенству, а параллельность сама по себе его не доказывает. Если любой из двух главных признаков не совпал, векторы не равны.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке даны два направленных отрезка одинаковой длины, направленные в одну сторону. Определите, задают ли они равные векторы. Названия точек и места отрезков не указаны, поэтому нужно проверить только признаки, определяющие вектор. По условию оба признака уже можно сопоставить.

1. Сравним длины: по условию они одинаковы, значит, первое условие равенства выполнено.
2. Сравним направления: оба отрезка направлены в одну сторону, следовательно, векторы сонаправлены.
3. Положение отрезков не влияет на вывод, поскольку для равенства достаточно совпадения длины и направления.

Ответ: да, эти направленные отрезки задают равные векторы.

Задача 2. Даны отрезки AB и CD. Известно, что AB = CD и отрезки параллельны. Определите, при каком взаимном направлении векторы AB и CD равны. Равные длины уже обеспечивают один признак, но параллельность допускает два случая: направления совпадают или противоположны. Поэтому нужно внимательно учитывать порядок букв в обозначениях.

1. У вектора AB начало находится в A, а конец — в B; у вектора CD движение идёт от C к D.
2. Поскольку длины равны, проверим, куда направлены эти перемещения вдоль параллельных прямых.
3. Если от A к B и от C к D векторы направлены в одну сторону, оба признака выполнены. Если они направлены противоположно, равенства нет.

Ответ: векторы равны, когда они сонаправлены; при противоположном направлении они не равны.

Задача 3. На координатной сетке изображены несколько векторов с разными началами. Найдите все пары равных векторов и обоснуйте ответ. Числа координат здесь не заданы, поэтому применим способ сравнения непосредственно к рисунку. Для каждой пары важно проверить обе характеристики, не требуя совпадения начальных точек.

1. Для каждого вектора отметим начало и конец и проследим направление стрелки.
2. Сравним длины по клеткам: равные перемещения проходят одинаковое число клеток по горизонтали и вертикали, а значит, имеют одинаковую длину.
3. Из векторов с одинаковыми длинами оставим пары, у которых стрелки направлены в одну сторону. Пары с противоположными стрелками исключим.
4. Запишем оставшиеся пары и обоснуем каждую совпадением длины и направления; разные начала не будут препятствием.

Ответ: равными являются все пары векторов с одинаковыми длинами и совпадающими направлениями. Их конкретный список определяют по клеткам и стрелкам данного чертежа.

Типичные ошибки

Ошибка: считать равными любые векторы одинаковой длины. Её допускают, когда сравнивают только расстояние между концами и не смотрят на стрелки. Но отрезки одинаковой длины могут быть направлены в противоположные стороны. Проверь себя: проследи оба вектора от начала к концу и убедись, что направления совпадают.

Ошибка: считать равными любые сонаправленные векторы. Общая сторона движения ещё не означает одинаковый вектор, ведь перемещения могут иметь разную длину. Обычно направление заметнее на рисунке, поэтому длину легко упустить. Проверь себя, сравнив длины отрезков или число клеток на сетке.

Ошибка: считать векторы неравными из-за разных начальных точек. Так происходит, когда вектор воспринимают как отрезок, привязанный к определённому месту. На самом деле разные расположения допустимы, если длина и направление совпадают. Проверь себя: мысленно перенеси один отрезок параллельно к другому, не поворачивая и не изменяя его длину.

Ошибка: путать направления AB и BA. При перестановке букв меняются начало и конец, поэтому направление становится противоположным, хотя длина остаётся прежней. Это часто происходит, если при чтении обозначения не проговаривают, откуда движутся и куда. Проверь себя: назови сначала точку начала, затем точку конца; если они поменялись местами, вектор направлен иначе.

Связь с другими темами

Для работы с равенством векторов нужно знать, что такое направленный отрезок, как находить его длину и как определять направление. Помогают также навыки построения и сравнения отрезков, в том числе параллельных: они позволяют анализировать чертёж. Позже равенство векторов пригодится при их сложении и вычитании, где удобно переносить векторы, сохраняя их свойства. В задачах с координатами оно помогает сравнивать перемещения по двум осям.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковые длины.
• Равные векторы сонаправлены.
• Совпадение начальных точек для равенства векторов не требуется.
• Равная длина без совпадения направлений не гарантирует равенства.
• Порядок букв в обозначении направленного отрезка задаёт его направление.
• У нулевого вектора длина равна нулю, а направление не определено.