77. Равенство векторов

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Направление задаётся движением от начала к концу: например, вектор AB идёт от точки A к точке B. Это понятие позволяет описывать перемещение с учётом того, куда оно происходит, а не только указывать расстояние.

Длина вектора, или его модуль, — длина соответствующего направленного отрезка. Для вектора a её обозначают |a|. Модуль помогает сравнить, насколько длинны два вектора, но сам по себе ещё не показывает, в одну ли сторону они направлены.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено, потому что из совпавшей точки не получается направленный отрезок. Такое обозначение нужно, чтобы отдельно учитывать перемещение без изменения положения.

Равные векторы — сонаправленные векторы одинаковой длины; равенство записывают, например, так: a = b. Сонаправленные векторы направлены в одну сторону, а их начала при этом могут находиться в разных точках. Определение позволяет сравнивать векторы, даже если они изображены в разных местах.

Как это устроено

Равенство векторов определяют через длину и направление, а не через совпадение начальных точек. Вектор описывает направленное перемещение, поэтому его положение на чертеже не меняет самого перемещения. Например, одинаковые стрелки можно нарисовать в разных местах: если у них совпадают длина и направление, они равны. Именно поэтому при сравнении не требуется, чтобы начала стрелок встретились.

Чтобы проверить равенство двух векторов, нужно отдельно проверить два условия. Сначала сравнивают длины: если один вектор длиннее, равенства нет, даже когда стрелки смотрят в одну сторону. Затем сравнивают направления: равные длины сами по себе ничего не говорят о том, куда указывает каждый вектор. Только выполнение обоих условий одновременно даёт равенство.

Для ненулевых векторов сонаправленность означает, что они лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону. Параллельность говорит лишь о том, что прямые не пересекаются или совпадают, но не уточняет, куда направлены стрелки. Если стрелки указывают в противоположные стороны, векторы не сонаправлены. Поэтому противоположное направление исключает равенство, даже если длины одинаковы.

У нулевого вектора длина равна нулю, а направление не определено. Поэтому для него нельзя применять сравнение направлений, как для обычных стрелок. Любые два нулевых вектора имеют одинаковую длину и относятся к одному и тому же случаю — перемещению без длины. Значит, нулевой вектор равен только нулевому.

Если перенести вектор параллельно самому себе, сохранив его длину и направление, получится равный ему вектор. При таком переносе меняется положение отрезка, но не его свойства, по которым устанавливают равенство. Например, начало стрелки можно передвинуть в другую точку, а конец переместить на такое же расстояние в том же направлении. Этот приём помогает удобно изображать векторы и сравнивать их на чертеже.

Как определить равенство векторов

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала сравни длины, затем направления ненулевых векторов. Совпадение начальных точек не проверяй как условие равенства. Если оба вектора нулевые, они равны.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены два вектора одинаковой длины, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Определить, равны ли они. Начальные точки стрелок могут быть разными. Нужно проверить оба свойства, по которым определяют равенство ненулевых векторов.

1. Сравним длины. В условии сказано, что они одинаковы, значит, модули векторов равны. Первое условие выполнено.
2. Проверим направления. Векторы лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону, поэтому они сонаправлены. Второе условие тоже выполнено.
3. Сопоставим результат с определением. Оба обязательных условия соблюдены, а различие начальных точек не мешает равенству. Следовательно, векторы равны.

Ответ: векторы равны.

Задача 2. Даны два вектора одинаковой длины на параллельных прямых, но они направлены в противоположные стороны. Можно ли считать их равными? Условие о длине выполняется, поэтому важно не остановиться на первом сравнении. Проверим также направления.

1. Сравним модули. По условию длины векторов одинаковы, значит, первое условие равенства выполнено. Пока этого недостаточно для ответа.
2. Рассмотрим направления стрелок. Они лежат на параллельных прямых, но указывают в противоположные стороны. Такие векторы не сонаправлены.
3. Проверим определение. Для равенства нужны и одинаковая длина, и сонаправленность; второго условия нет. Поэтому равенства нет, хотя длины совпадают.

Ответ: нет, эти векторы не равны.

Задача 3. В параллелограмме ABCD сравнить векторы AB и DC, а затем AB и CD. Вектор AB направлен от A к B, а порядок букв в остальных обозначениях тоже задаёт направление. Свойства параллелограмма помогут сопоставить и длины сторон, и направление.

1. Сравним AB и DC. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. При обходе вершин A, B, C, D векторы AB и DC направлены в одну сторону, поэтому они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
2. Сравним AB и CD. Длины этих векторов равны, поскольку соответствующие стороны параллелограмма равны. Но CD направлен от C к D, то есть противоположно вектору AB.
3. Применим определение равенства. В первом случае совпали длины и направления, во втором совпали только длины. Значит, AB равен DC, но не равен CD.

Ответ: AB = DC; AB и CD не равны.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Так допускают, если сравнивают лишь размер стрелок и забывают о направлении. Проверь себя: отдельно выясни, указывают ли ненулевые векторы в одну сторону.

• Ошибка — считать равными любые параллельные векторы. Параллельность относится к прямым, на которых лежат векторы, и не определяет сторону стрелки. Проверь направление каждой стрелки: противоположные направления означают, что векторы не сонаправлены.

• Ошибка — требовать общего начала у равных векторов. На чертеже это условие может казаться естественным, потому что стрелки часто рисуют из одной точки. Но равенство зависит от длины и направления, поэтому сравни именно их, даже если начала расположены по-разному.

• Ошибка — перепутать векторы AB и BA. Их обозначения отличаются порядком букв, поэтому можно не заметить, что стрелки направлены противоположно. Проверяй обозначение по правилу: первая буква — начало, вторая — конец; затем сопоставляй направление с другим вектором.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в равенстве векторов, нужно знать, что такое направленный отрезок и длина отрезка. Также потребуется понимать, когда прямые параллельны: это помогает сравнивать направления ненулевых векторов. Эти понятия дают основу для проверки длины и сонаправленности.

Равенство векторов понадобится при изучении сложения и вычитания векторов: перенос равного вектора позволяет удобнее выполнять действия. Оно также помогает решать задачи на параллелограммы, где нужно учитывать равенство противоположных сторон и направление отрезков. При этом порядок букв в обозначении остаётся важен.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковую длину.
• Ненулевые равные векторы сонаправлены.
• Начальные точки равных векторов могут не совпадать.
• Противоположно направленные векторы не равны.
• Все нулевые векторы равны между собой.
• Порядок букв в обозначении вектора задаёт его направление.