76. Понятие вектора

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано направление. Его обозначают маленькой буквой со стрелкой сверху или двумя заглавными буквами со стрелкой над ними, например вектор AB. Такая запись нужна, чтобы отличать вектор от обычного отрезка: вектор сообщает и о длине, и о направлении.

Начало и конец вектора — точки, задающие направленный отрезок. В обозначении вектора AB точка A является началом, а точка B — концом; направление идёт от A к B. Это помогает правильно прочитать запись: если поменять точки местами, получится вектор BA, направленный в обратную сторону.

Длина вектора — длина отрезка, который задаёт этот вектор. Её обозначают |AB| или |вектор AB|; например, |AB| означает длину отрезка AB. Длина нужна, чтобы сравнивать векторы и находить расстояние, которое они задают, и она не бывает отрицательной.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало совпадает с концом. Его можно обозначить AA или символом 0; длина такого вектора равна нулю. Это понятие нужно для случая, когда направленный отрезок не проходит никакого расстояния, поэтому его направление не задаётся.

Как это устроено

Если смотреть только на отрезок, можно узнать расстояние между его концами, но нельзя понять, в какую сторону оно отложено. Поэтому в геометрии используют направленный отрезок: он сохраняет сведения о длине и добавляет к ним направление. Это удобно, когда требуется описывать перемещение из одной точки в другую. Даже одинаковые по длине отрезки могут задавать разные векторы, если они направлены неодинаково.

Обозначение вектора связывает две точки в определённом порядке: первая буква показывает, откуда начинается движение, а вторая — куда оно направлено. Например, запись AB читается от A к B, потому что A поставлена первой. Если записать BA, началом станет B, а концом — A. Значит, перестановка букв не меняет длину отрезка, но меняет направление вектора.

Длина вектора определяется через длину соответствующего отрезка, поэтому она измеряется так же, как расстояние между точками. Сам вектор и его длина — не одно и то же: вектор содержит направление, а длина является числом. У векторов AB и CD длины могут совпасть, хотя сами векторы будут различаться из-за направления. Именно поэтому при сравнении векторов нельзя ограничиваться измерением отрезков.

Нулевой вектор — особый случай: если начало и конец совпали, длина отрезка между ними равна нулю. Нельзя указать, в какую сторону он направлен, потому что из точки не ведёт отрезок к другой точке. Это не мешает пользоваться таким вектором в геометрии: он обозначает отсутствие перемещения. Запись AA сразу показывает, что обе роли — начала и конца — выполняет одна точка.

Два вектора считают равными, когда одновременно выполнены два условия: их длины равны и они сонаправлены, то есть направлены в одну сторону. Одной только одинаковой длины недостаточно: равные по длине векторы могут смотреть в разные стороны. Недостаточно и одного совпадения направлений, если длины различны. Место, в котором расположен вектор, на равенство не влияет, поэтому равные векторы могут быть изображены в разных частях плоскости.

Основные характеристики векторов

При работе с таблицей сначала определите, о каком понятии идёт речь, а затем проверьте соответствующий признак. Для равных векторов нужно проверить и направление, и длину, а не только один из них. Запись двух букв читайте слева направо: первая точка задаёт начало.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B. Запишите вектор, начало которого — A, а конец — B, и укажите его длину. Чтобы ответить, нужно использовать порядок букв для направления и отдельно назвать длину соответствующего отрезка. Числовое значение длины можно указать, только если оно дано на рисунке или в условии.

1. Начало задано точкой A, поэтому первой буквой в обозначении будет A. Конец — точка B, значит, второй буквой будет B.
2. Записываем вектор AB со стрелкой над буквами: он направлен от A к B. Его длина равна длине отрезка AB и обозначается |AB|.

Ответ: вектор AB; его длина равна |AB|, то есть длине отрезка AB.

Задача 2

Точки M и N совпадают. Какой вектор задаёт направленный отрезок MN и чему равна его длина? Совпадение точек означает, что отрезок не соединяет разные места, а его длина равна нулю. Поэтому нужно распознать особый случай, а не пытаться указать направление.

1. Начало обозначено M, конец — N, поэтому направленный отрезок записан как вектор MN. Так как M и N — одна и та же точка, запись можно понимать как MM.
2. Вектор с совпадающими началом и концом является нулевым. Длина соответствующего отрезка равна нулю, а направление такого вектора не задаётся.

Ответ: MN — нулевой вектор, его длина равна нулю.

Задача 3

На рисунке изображены векторы AB и CD. Их длины равны, и они направлены одинаково. Нужно определить, равны ли эти векторы, даже если начало одного не совпадает с началом другого. Для этого достаточно проверить оба условия равенства векторов.

1. Сравним длины: по условию они равны, значит, первое условие выполнено. Место расположения отрезков при такой проверке не учитывается.
2. Сравним направления: по условию векторы направлены одинаково, значит, они сонаправлены. Оба необходимых условия выполнены одновременно.

Ответ: векторы AB и CD равны, потому что имеют равные длины и одинаковое направление.

Типичные ошибки

Ошибка — считать векторы AB и BA одинаковыми. Это происходит, если обращать внимание только на соединяющий точки отрезок и забывать, что первая буква задаёт начало. Чтобы проверить себя, прочитайте обозначение слева направо: AB идёт от A к B, а BA — от B к A. Направления противоположны, поэтому это разные векторы.

Иногда векторы объявляют равными только потому, что их длины совпадают. Так можно решить, если сравнивать лишь расстояния между концами, но направление при этом останется непроверенным. Сравните, куда указывают векторы: при разных направлениях равенства нет. Значит, одинаковая длина — только одно из двух необходимых условий.

Другая ошибка — считать равными любые сонаправленные векторы. Их направления действительно совпадают, но длины могут быть разными, поэтому векторы не будут равны. Чтобы себя проверить, сравните длины соответствующих отрезков после проверки направления. Для равенства нужны оба признака одновременно.

Нулевому вектору иногда приписывают направление, например говорят, что он направлен из точки в неё же. Такая формулировка ошибочна: направление указывает путь от одной точки к другой, а у нулевого вектора точки совпадают. Проверьте, можно ли провести стрелку от начала к отличному от него концу: в этом случае такого конца нет. Поэтому у нулевого вектора направление не задаётся.

Связь с другими темами

Для изучения векторов понадобятся знакомые навыки: различать отрезок и его концы, сравнивать длины отрезков и правильно пользоваться обозначениями точек. Эти знания помогают читать запись вектора и устанавливать его длину. Дальше векторы будут использоваться при изучении сложения и вычитания, координат и геометрических преобразований. Поэтому важно уже сейчас уверенно различать направление и длину.

Что запомнить

• Вектор — это направленный отрезок.
• Порядок букв в обозначении вектора задаёт его направление.
• Длина вектора равна длине соответствующего отрезка.
• Длина вектора неотрицательна.
• У нулевого вектора начало совпадает с концом, а длина равна нулю.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и направления.
• Расположение равных векторов на плоскости может быть разным.