21.1. Понятие вектора

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, имеющий начало и конец. Его обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой над ними: 𝐀𝐁⃗, где A — начало, а B — конец. Такое обозначение нужно, чтобы сразу видеть не только сам отрезок, но и направление движения от A к B.

Длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Для вектора 𝐀𝐁⃗ её записывают как |𝐀𝐁⃗|. Длина показывает величину перемещения и не зависит от того, в какую сторону направлен вектор.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, например |𝐀𝐀⃗| = 0. Он нужен для обозначения отсутствия перемещения, хотя определённого направления у него нет.

Равные векторы имеют одинаковые длины и одинаковые направления, противоположные — равные длины и противоположные направления. Коллинеарные векторы расположены на одной прямой или на параллельных прямых, причём их направления могут совпадать или различаться. Эти признаки позволяют сравнивать векторы, даже если они находятся в разных местах.

Как это устроено

Одного отрезка недостаточно, чтобы задать вектор, потому что по отрезку нельзя понять, в какую сторону происходит движение. Например, отрезок AB можно пройти от A к B или от B к A, и это будут разные векторы. Поэтому к длине добавляют направление, задаваемое стрелкой.

Направление определяют по порядку точек в записи. В 𝐀𝐁⃗ точка A является началом, а точка B — концом, значит, стрелка направлена от A к B. Если поменять буквы местами, получится 𝐁𝐀⃗ с противоположным направлением.

Вектор можно параллельно перенести в другое место, потому что его свойства не связаны с конкретными координатами начала. Если после переноса сохраняются длина и направление, новый направленный отрезок изображает тот же вектор. Это позволяет удобно совмещать начало одного вектора с концом другого.

Чтобы сравнить векторы, сначала проверяют их длины, а затем направления. Равенство возможно только при совпадении обоих признаков, а противоположность означает равенство длин и разворот направления на 180°. Поэтому векторы одинаковой длины могут быть равными, противоположными или вообще направленными под другим углом.

Нулевой вектор отличается от всех ненулевых тем, что его длина равна нулю. Начало и конец в нём совпадают, поэтому нельзя провести стрелку от одной различной точки к другой и определить направление. Тем не менее нулевой вектор участвует в общих правилах действий с векторами.

Основные понятия и виды векторов

В таблице сначала находите определение нужного понятия, затем сверяете его обозначение и главный признак. При сравнении векторов особенно полезно отдельно проверять длину и направление. Для коллинеарности совпадение длин не требуется.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B. Нужно назвать вектор, направленный от A к B, указать его начало и конец и записать длину. Числовое значение расстояния на рисунке обозначим через AB.

1. Направление задано фразой «от A к B», поэтому первая буква записи — A, а вторая — B.
2. Получаем вектор 𝐀𝐁⃗; его начало — точка A, конец — точка B.
3. Длина направленного отрезка равна длине обычного отрезка AB, поэтому записываем |𝐀𝐁⃗| = AB.

Ответ: 𝐀𝐁⃗ — искомый вектор, A — его начало, B — конец, а длина равна AB. Если направление изменить, получится уже 𝐁𝐀⃗. Эти два вектора имеют одинаковую длину, но противоположны.

Задача 2

На клетчатой бумаге изображены несколько направленных отрезков. Нужно определить, какие соответствующие векторы равны, какие противоположны, а какие только имеют одинаковую длину. Для решения нельзя ограничиваться подсчётом клеток.

1. Для каждого вектора подсчитайте горизонтальное и вертикальное смещения или сравните длину направленного отрезка.
2. Сопоставьте направления: одинаковые стрелки дают одинаковое направление, а разворот на 180° — противоположное.
3. Запишите в одну группу векторы с равными длинами и одинаковыми направлениями, во вторую — с равными длинами и обратными направлениями.
4. Если длины совпали, но направления образуют другой угол, векторы только равны по длине.

Ответ формулируют по найденным группам: равные векторы совпадают по двум признакам, противоположные — по длине, но не по направлению. Векторы одинаковой длины без нужного направления не объявляют равными. Такой порядок проверки защищает от главной ошибки задачи.

Задача 3

Даны точки A, B и C. Требуется построить точку D так, чтобы 𝐂𝐃⃗ = 𝐀𝐁⃗, а затем определить, какие из полученных векторов коллинеарны. Точка D должна сохранить относительно C ту же длину и направление, которые имеет 𝐀𝐁⃗.

1. Через C проведите прямую, параллельную AB, и выберите на ней направление от C, совпадающее с направлением от A к B.
2. Отложите на этой прямой отрезок CD, равный AB; его конец обозначьте D.
3. Тогда 𝐂𝐃⃗ и 𝐀𝐁⃗ имеют одинаковые длины и направления, значит, они равны.
4. Для проверки коллинеарности найдите пары векторов, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, не требуя равенства их длин.

Ответ: точка D строится переносом вектора 𝐀𝐁⃗ так, чтобы его начало оказалось в C. Векторы 𝐀𝐁⃗ и 𝐂𝐃⃗ равны и потому коллинеарны. Другие пары объявляют коллинеарными только после проверки параллельности их направляющих.

Типичные ошибки

Ошибка: считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Так происходит, когда ученик воспринимает вектор как обычный отрезок и не проверяет стрелки. Проверьте оба признака: длины должны совпасть, и направления тоже.

Ошибка: путать 𝐀𝐁⃗ и 𝐁𝐀⃗ или не учитывать порядок букв. Эти записи используют одни и те же точки, поэтому кажется, что речь идёт об одном отрезке. Прочитайте запись слева направо: первая точка — начало, вторая — конец.

Ошибка: приписывать нулевому вектору определённое направление. Его начало и конец совпадают, поэтому стрелка не указывает ни на какую сторону. Проверьте длину: если она равна нулю, направление не определяется.

Ошибка: называть коллинеарными любые пересекающиеся или близко расположенные векторы. Коллинеарность связана не с расстоянием между изображениями, а с параллельностью прямых, на которых они лежат. Проведите мысленные прямые через векторы и сравните их направления.

Связь с другими темами

До изучения векторов нужны понятия точки, отрезка и расстояния, а также представления о параллельных и перпендикулярных прямых. Координаты точек помогут позднее описывать векторы числами и вычислять их длины.

Дальше векторы используют при сложении и вычитании, умножении на число и решении задач координатным методом. Свободный перенос особенно важен при построениях и изучении движений на плоскости.

В физике векторами изображают перемещение, скорость, силу и другие величины, для которых важны и числовое значение, и направление. Поэтому геометрическое понимание вектора понадобится при изучении механики.

Что запомнить

• Вектор — направленный отрезок.
• У вектора есть начало, конец, направление и длина.
• Длина вектора — это расстояние между его началом и концом.
• При параллельном переносе вектор не изменяется.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления.
• Длина нулевого вектора равна нулю, а его направление не определяется.