§ 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано направление. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например ⃗AB: стрелка показывает, что движение идёт от A к B. Обычный отрезок сообщает только расстояние между точками, а вектор учитывает ещё и направление. Поэтому отрезки AB и BA имеют одинаковую длину, но задают разные векторы.

Точка A у вектора ⃗AB называется началом, а точка B — концом. Длиной вектора называют длину отрезка, соединяющего его начало и конец; для ⃗a её записывают как |⃗a|. Эти обозначения позволяют отдельно говорить о направлении вектора и о численной величине перемещения. Длина не может быть отрицательной.

Равные векторы — это векторы с одинаковыми длиной и направлением. Их начала при этом могут находиться в разных точках: важно, чтобы один вектор можно было параллельно перенести на место другого без поворота и изменения длины. Это определение позволяет считать вектор свободным от конкретного положения на чертеже. Благодаря этому векторы удобно переносить для выполнения операций.

Нулевой вектор — вектор нулевой длины, у которого начало и конец совпадают; его обозначают ⃗0. Противоположный вектор −⃗a имеет ту же длину, что и ⃗a, но направлен в обратную сторону. Если сложить вектор с противоположным, получится нулевой вектор. Эти понятия нужны для вычитания и умножения векторов на число.

Как это устроено

Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, потому что при таком переносе не меняются ни длина, ни направление. Например, перемещение на три метра вправо остаётся тем же перемещением, где бы оно ни начиналось. Поэтому векторы с одинаковыми длиной и направлением считают равными, даже если они изображены в разных местах. Перед сложением это свойство позволяет расположить векторы удобным образом.

Чтобы сложить ⃗a и ⃗b по правилу треугольника, приложите начало ⃗b к концу ⃗a. Суммой будет вектор от начала ⃗a до конца перенесённого ⃗b. Такая конструкция отражает последовательное выполнение двух перемещений: сначала первого, затем второго. Итоговое перемещение приводит из начальной точки сразу в конечную.

Правило параллелограмма строит ту же сумму иначе. Отложите оба вектора от общей точки и достройте параллелограмм, используя их как соседние стороны. Диагональ, выходящая из общего начала, задаёт сумму, потому что её конец совпадает с результатом последовательного перемещения по двум сторонам. Этот способ особенно удобен, когда векторы уже приложены к одной точке.

Вычитание сводится к сложению: ⃗a − ⃗b = ⃗a + (−⃗b). Сначала замените ⃗b вектором той же длины, но противоположного направления, а затем примените правило треугольника. Так разность тоже изображает результирующее перемещение, а не просто разницу двух чисел. Поэтому длину разности нельзя обычно находить вычитанием длин исходных векторов.

При умножении ⃗a на число λ длина результата равна |λ|·|⃗a|, потому что модуль числа задаёт масштаб изменения. Если λ положительно, направление сохраняется; если отрицательно, вектор разворачивается. При λ = 0 длина становится нулевой, поэтому получается ⃗0. Так один знак и модуль числа определяют два разных свойства результата: направление и длину.

Линейные операции над векторами

Чтобы выбрать построение, сначала определите, какая операция нужна: для вычитания потребуется противоположный вектор. Затем проверьте результат по последнему столбцу: он помогает заметить ошибку с длиной или направлением. Для суммы двух векторов, приложенных к одной точке, можно использовать любой из двух правил.

Разбор задач

Задача 1. Построить вектор ⃗a + ⃗b, если заданы два вектора. Нужно получить результат, который соответствует последовательному перемещению сначала на ⃗a, затем на ⃗b. Положение исходных векторов не мешает: их можно переносить, сохраняя длину и направление.

1. Оставьте ⃗a на месте, а ⃗b параллельно перенесите так, чтобы его начало оказалось в конце ⃗a.
2. Проведите вектор от начала ⃗a к концу перенесённого ⃗b. По правилу треугольника это и есть ⃗a + ⃗b.
3. Для проверки отложите оба вектора от одной точки и достройте параллелограмм. Его диагональ из общего начала должна совпасть с построенной суммой.

Ответ: ⃗a + ⃗b — вектор от начала первого к концу второго при последовательном расположении. Проверка параллелограммом подтверждает построение, потому что оба способа дают одно результирующее перемещение. Если диагональ направлена не туда, проверьте, от какой вершины вы её проводили.

Задача 2. Построить ⃗a − ⃗b и объяснить полученный результат. Прямое «вычитание длины» здесь не подходит: нужно учитывать направления обоих векторов. Представим разность как сумму с вектором, противоположным ⃗b.

1. Постройте −⃗b: его длина равна |⃗b|, а направление обратное направлению ⃗b.
2. Приложите начало −⃗b к концу ⃗a, сохранив его длину и направление при переносе.
3. Соедините начало ⃗a с концом −⃗b. Полученный вектор равен ⃗a + (−⃗b), то есть ⃗a − ⃗b.

Ответ: разность — вектор от начала ⃗a к концу добавленного −⃗b. Полученное направление показывает результат действия «сначала ⃗a, затем противоположное ⃗b». Длина зависит от взаимного расположения векторов и не обязана равняться |⃗a| − |⃗b|.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD. Выразить ⃗AC через ⃗AB и ⃗AD, а затем найти вектор, противоположный ⃗AC. Диагональ AC можно пройти двумя последовательными отрезками: сначала от A к B, затем от B к C. В параллелограмме противоположные стороны равны как векторы, если их направления согласованы.

1. По правилу треугольника запишите ⃗AC = ⃗AB + ⃗BC.
2. В параллелограмме ⃗BC = ⃗AD: эти стороны равны и направлены одинаково. Поэтому ⃗AC = ⃗AB + ⃗AD.
3. Чтобы получить противоположный вектор, разверните диагональ AC. Тогда −⃗AC = −(⃗AB + ⃗AD) = −⃗AB − ⃗AD.

Ответ: ⃗AC = ⃗AB + ⃗AD, а противоположный ему вектор равен −⃗AB − ⃗AD. В последнем равенстве оба слагаемых меняют направление, поскольку весь результат должен быть противоположен исходной диагонали. Это также можно проверить, проследив путь от C к A.

Типичные ошибки

Считать равными векторы только из-за одинаковой длины. Так ошибаются, если сравнивают лишь отрезки, не замечая их ориентации. Проверьте оба свойства: длины должны совпадать, и направления должны быть одинаковыми. При противоположных направлениях векторы не равны, даже если их длины одинаковы.

Откладывать второй вектор от начала первого. Это нарушает правило треугольника, в котором векторы соединяются последовательно. Ошибка возникает, когда переносят только рисунок или путают начало с концом. Проверьте: начало второго вектора должно оказаться у конца первого.

Вычитать длины вместо векторов. Длины не содержат сведений о направлениях, поэтому их разность обычно не задаёт длину векторной разности. Такой способ кажется естественным из-за привычки вычитать числа. Для проверки постройте −⃗b и сложите его с ⃗a; только полученная геометрическая фигура определяет результат.

При умножении на отрицательное число менять только длину. Модуль числа действительно задаёт масштаб, но знак отвечает за направление. Если его не учесть, получится вектор, направленный не туда. Проверьте знак множителя: при λ < 0 результат должен смотреть противоположно исходному вектору.

Связь с другими темами

Для работы с векторами пригодятся умение распознавать направленный отрезок, сравнивать длины и ориентироваться в параллельных прямых. Эти знания помогают правильно переносить векторы и распознавать равные стороны фигур. В геометрических фигурах векторные операции позволяют выражать диагонали и стороны через другие векторы. Позже тот же язык станет основой координатного метода, изучения коллинеарности и выражения одного вектора через другие.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Сумму можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.
• Разность векторов — сумма уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому.
• При умножении на положительное число направление сохраняется.
• При умножении на отрицательное число направление меняется на противоположное.
• Умножение вектора на ноль даёт нулевой вектор.