§ 20. Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих указанным общим свойством. Иначе говоря, каждая точка множества удовлетворяет условию, а точка вне него — нет. Это понятие позволяет заменить длинное описание условием на фигуру, которую можно распознать и построить.

Сфера — геометрическое место точек пространства, удалённых от данной точки на заданное расстояние. Данную точку называют центром, а заданное расстояние — радиусом; если центр O, радиус r, то точки M сферы удовлетворяют OM = r. Это определение помогает отличать поверхность сферы от всего пространства внутри неё.

Серединная плоскость отрезка — плоскость, проходящая через его середину перпендикулярно отрезку. Для отрезка AB каждая точка этой плоскости равноудалена от A и B. Определение нужно, чтобы описывать множество точек, для которых MA = MB.

Цилиндрическая поверхность — геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от данной прямой. Прямая служит её осью, а расстояние задаёт радиус поперечных окружностей. Такое описание удобно, когда условие относится ко всем точкам прямой, а не к одной выбранной точке.

Параллельные плоскости — геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от данной плоскости; при положительном расстоянии получаются две плоскости по разные стороны. Каждая параллельна исходной, а промежуток между ними и исходной плоскостью равен заданной величине. Это определение помогает учитывать оба направления измерения.

Как это устроено

Чтобы найти геометрическое место, сначала выделяют все точки, которые удовлетворяют условию, а затем проверяют, какую пространственную фигуру они образуют. Здесь важно не ограничиться несколькими примерами: нужно объяснить, почему любая подходящая точка принадлежит найденной фигуре и почему точки этой фигуры выполняют условие. Такой разбор в обе стороны подтверждает, что найдено именно всё множество. Расстояние при этом измеряют по принятому в геометрии правилу — например, до прямой или плоскости по перпендикуляру.

Пусть расстояние от точки M до фиксированной точки O должно быть равно r. Все направления из O равноправны: на каждом из них можно отложить отрезок длины r, и его конец будет подходящей точкой. Концы таких отрезков заполняют поверхность сферы с центром O, потому что каждое расстояние OM равно r. Внутренние точки не подходят: их расстояние до O меньше r, поэтому условие задаёт поверхность, а не шар.

Если MA = MB, точка M расположена одинаково далеко от A и B. Проведём через M перпендикуляр к AB: разность расстояний до концов отрезка меняется, когда точка смещается вдоль AB, и равенство достигается над серединой AB. Поэтому M лежит в плоскости, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна AB. И наоборот, для точки такой плоскости перпендикулярные отрезки к A и B симметричны относительно середины, а значит, равны.

Зафиксируем прямую l и рассмотрим любую плоскость, перпендикулярную ей. Расстояние от точки этой плоскости до l измеряется до точки пересечения плоскости с прямой, поэтому условие задаёт окружность радиуса r. Если менять положение поперечной плоскости вдоль l, во всех случаях получается окружность того же радиуса. Совокупность этих окружностей и образует цилиндрическую поверхность с осью l; точки внутри неё или снаружи не имеют требуемого расстояния до прямой.

Пусть расстояние от точки M до плоскости α равно h. Перпендикуляр к α задаёт направление, в котором можно отложить h, но от плоскости он направлен в обе стороны. На каждом из двух уровней все точки сохраняют расстояние h до α и образуют плоскость, параллельную ей. Поэтому ответ состоит из двух плоскостей, а не из одной; если h = 0, обе стороны совпадают с самой α.

Геометрические места точек, заданные расстояниями

Пользуйтесь таблицей так: найдите условие задачи в первом столбце и прочитайте соответствующую фигуру во втором. Третий столбец подсказывает способ распознавания или построения, а последний уточняет, является ли ответ поверхностью или объёмной областью. В таблице приведён один основной случай; остальные условия разбираются через их определения.

Разбор задач

1. Расстояние от точки O

Условие. Дана точка O и число r. Опишите геометрическое место точек M пространства, для которых OM = r.

1. Сравним условие с определением: расстояние каждой искомой точки от фиксированной точки O должно быть одним и тем же числом r. Это как раз признак множества точек сферы.
2. Укажем параметры фигуры: O — её центр, а r — радиус. Можно мысленно отложить от O отрезки длины r во всех направлениях и рассмотреть их концы.
3. Проверим границу ответа: концы отрезков удовлетворяют OM = r, а точки внутри сферы имеют OM < r. Поэтому внутренность не включают.

Ответ. Сфера с центром O и радиусом r.

2. Точки, равноудалённые от A и B

Условие. Даны точки A и B. Опишите геометрическое место точек M, для которых MA = MB, и объясните, как его построить.

1. Равенство MA = MB означает, что M одинаково удалена от концов AB. Вспоминаем фигуру, точки которой обладают этим свойством: серединную плоскость отрезка AB.
2. Найдём середину S отрезка AB и проведём через неё плоскость, перпендикулярную AB. Так задаются оба необходимых признака: плоскость проходит через середину и имеет правильное направление.
3. Проверим результат: проекция точки этой плоскости на прямую AB приходится на S, поэтому расстояния до A и B равны. Точка вне плоскости в общем случае не равноудалена от концов отрезка.

Ответ. Серединная плоскость AB, построенная через середину отрезка перпендикулярно ему.

3. Два условия на расстояние

Условие. Даны прямая l и плоскость α. Найдите геометрическое место точек, находящихся на расстоянии r от прямой l и на расстоянии h от плоскости α.

1. Первое условие отдельно задаёт цилиндрическую поверхность радиуса r вокруг l. Второе задаёт две плоскости, параллельные α и удалённые от неё на h в противоположных направлениях.
2. Построим обе фигуры, не выбирая заранее одну из параллельных плоскостей. Это важно, потому что условие расстояния до α не указывает сторону.
3. Оставим только точки, которые принадлежат и цилиндрической поверхности, и одной из двух плоскостей. Если фигуры не пересекаются, подходящих точек нет; форма пересечения зависит от взаимного положения l и α.

Ответ. Пересечение цилиндрической поверхности вокруг l с парой плоскостей, параллельных α и отстоящих от неё на h.

Типичные ошибки

Называют шар геометрическим местом точек на расстоянии r от центра. Ошибка возникает из-за того, что в быту шаром иногда называют и поверхность, и весь объём; в геометрии эти понятия различают. Проверьте условие: при фиксированном расстоянии нужно оставить только точки с равенством, а внутренние точки шара удовлетворяют неравенству.

Серединную плоскость иногда заменяют любой плоскостью через середину отрезка. Но одной этой точки недостаточно: плоскость должна быть перпендикулярна AB, иначе её точки не будут в общем случае равноудалены от A и B. При проверке постройте перпендикуляр к AB через середину и убедитесь, что именно он задаёт направление нормали плоскости.

Для заданного расстояния до плоскости берут только одну параллельную плоскость. Так происходит, если мысленно отложить расстояние лишь в одном направлении; однако условие не задаёт сторону. Проверьте чертёж: от α должны быть отложены одинаковые расстояния по обе стороны, если расстояние положительно.

Расстояние до прямой путают с расстоянием до выбранной на ней точки, поэтому вместо цилиндрической поверхности получают сферу. Причина — подмена объекта измерения: точка на прямой не представляет всю прямую. Проверка проста: расстояние от точки до прямой измеряется кратчайшим отрезком, перпендикулярным прямой, и таких точек на прямой может быть много.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны понятия расстояния между точками и расстояния от точки до прямой или плоскости, а также перпендикулярности прямых и плоскостей. Они помогают правильно определить, как именно измеряется условие, и строить серединную плоскость или поперечные сечения цилиндрической поверхности. Геометрические места точек применяются при построении сечений сфер и цилиндров и при поиске пересечений пространственных фигур. Координатный метод позволяет записывать те же условия уравнениями и находить их общие решения.

Что запомнить

• Геометрическое место точек задаётся общим свойством всех его точек.
• Точки на расстоянии r от данной точки образуют сферу.
• Точки, равноудалённые от двух точек, лежат в серединной плоскости их отрезка.
• Точки на расстоянии r от прямой образуют цилиндрическую поверхность.
• Точки на расстоянии r от плоскости образуют две параллельные плоскости.
• При пересечении условий геометрическое место получается пересечением соответствующих фигур.