"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Расстояние между фигурами — это наименьшее расстояние между точками, принадлежащими этим фигурам. Оно помогает сравнивать взаимное положение объектов в пространстве и решать задачи на прямые, плоскости, сечения и координаты. Для точки и прямой или плоскости расстояние измеряют по перпендикуляру; для параллельных и скрещивающихся прямых — по их общему перпендикуляру. Главное — найти именно ближайшую пару точек, а не измерять произвольный отрезок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние от точки до фигуры — наименьшее расстояние от этой точки до точек фигуры. Если фигура — прямая или плоскость, это длина перпендикуляра, опущенного из точки. Такое определение позволяет не выбирать произвольный отрезок, а сразу искать кратчайший путь.
Расстояние между двумя фигурами — наименьшее расстояние между точками, принадлежащими этим фигурам. Иначе говоря, нужно найти такую пару точек, чтобы отрезок между ними был самым коротким среди возможных. Это определение применимо и к точкам, и к прямым, и к плоскостям.
Расстояние между параллельными прямыми — длина отрезка их общего перпендикуляра, то есть отрезка, который соединяет прямые и перпендикулярен каждой из них. Поскольку прямые параллельны, такие перпендикулярные отрезки имеют одинаковую длину. Поэтому достаточно построить один удобный отрезок.
Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина отрезка их общего перпендикуляра. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому отрезок между ближайшими точками должен быть перпендикулярен обеим. Это определение помогает отличить нужное расстояние от длины произвольного соединяющего отрезка.
Пусть из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Основание наклонной можно соединить с основанием перпендикуляра, получив прямоугольный треугольник: наклонная будет гипотенузой, а перпендикуляр — катетом. Гипотенуза длиннее каждого катета, значит, наклонная длиннее перпендикуляра. Поэтому именно перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние до плоскости; тот же принцип действует для прямой.
Чтобы найти расстояние между фигурами, нужно рассматривать пары точек, по одной на каждой фигуре, и сравнивать длины соединяющих их отрезков. Наименьшая из этих длин и есть искомое расстояние. Для параллельных прямых или плоскостей оно постоянно: перпендикулярные отрезки между ними имеют одинаковую длину, потому что фигуры не сближаются и не расходятся. Если фигуры пересекаются, их расстояние равно нулю.
Для параллельных прямых проводят отрезок, перпендикулярный одной прямой, и продолжают его до второй. Поскольку прямые параллельны, этот отрезок перпендикулярен и второй прямой. Его длина равна расстоянию между прямыми; если известны координаты или размеры фигуры, длину можно вычислить, например, по теореме Пифагора. Важно, чтобы концы отрезка действительно лежали на обеих прямых.
У скрещивающихся прямых тоже строят общий перпендикуляр, но задача сложнее: прямые не лежат в одной плоскости, поэтому нельзя просто провести перпендикуляр в привычной плоскости рисунка. Общий перпендикуляр соединяет точку одной прямой с точкой другой и перпендикулярен каждой из них. Его длина является минимальной, так как смещение любого конца вдоль прямых добавляет составляющие к отрезку. В координатах расстояние можно найти через направляющие векторы прямых и смешанное произведение.
Если прямая параллельна плоскости, все её точки находятся от плоскости на одинаковом расстоянии. Поэтому выбирают точку на прямой, опускают из неё перпендикуляр на плоскость и находят длину этого отрезка. Для параллельных плоскостей рассуждают так же: расстояние равно длине перпендикуляра между ними и не меняется при выборе места его проведения. Если прямая пересекает плоскость, расстояние между ними равно нулю.
В таблице собраны тип фигуры, нужное условие и основной способ поиска расстояния. Сначала определите, пересекаются ли фигуры, параллельны ли они или скрещиваются; это укажет, какой случай рассматривать. Затем постройте перпендикуляр или примените подходящее вычисление.
| Какие фигуры | Условие | Что считать расстоянием | Основной приём |
|---|---|---|---|
| Точка и прямая | Точка не лежит на прямой | Длину перпендикуляра от точки к прямой | Построить перпендикуляр и найти его длину |
| Точка и плоскость | Точка не лежит в плоскости | Длину перпендикуляра от точки к плоскости | Опустить перпендикуляр; наклонные не брать |
| Параллельные прямые | Прямые не пересекаются и параллельны | Длину общего перпендикуляра | Провести перпендикуляр к обеим прямым |
| Скрещивающиеся прямые | Прямые не параллельны и не пересекаются | Длину общего перпендикуляра | Найти ближайшие точки или применить координаты |
| Прямая и плоскость | Прямая параллельна плоскости | Расстояние от любой точки прямой до плоскости | Выбрать точку на прямой и опустить перпендикуляр |
| Параллельные плоскости | Плоскости не пересекаются и параллельны | Длину перпендикуляра между плоскостями | Провести общий перпендикуляр и вычислить его длину |
Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 10 см. Найдите расстояние от точки до плоскости. В условии уже указана длина перпендикуляра, поэтому сравнивать её с наклонной или искать неизвестный элемент треугольника не требуется. Проверим, какой из данных отрезков по определению является расстоянием.
Ответ: 6 см.
В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами 3, 4 и 5 найдите расстояние между двумя заданными параллельными рёбрами. Для численного ответа важно знать, какие именно рёбра заданы: расстояние зависит от того, вдоль каких сторон они смещены. Рассмотрим случай, когда рёбра идут в направлении стороны 5 и разделены по направлениям сторон 3 и 4. Тогда общий перпендикуляр равен диагонали прямоугольной грани со сторонами 3 и 4.
Ответ: 5 (в единицах длины рёбер) для указанного расположения.
Даны две скрещивающиеся прямые, заданные в координатах. Найдите расстояние между ними. Численное значение нельзя получить без конкретных координат или уравнений, но способ решения можно записать в общем виде. Используем направляющие векторы — векторы, параллельные соответствующим прямым.
Ответ: |w · (u × v)| / |u × v|; для численного ответа нужны координаты прямых.
Первая ошибка — принимать за расстояние любой отрезок между фигурами. Его длина может быть больше минимума, потому что концы отрезка выбраны произвольно. Проверка: выясните, соединяет ли он ближайшие точки и перпендикулярен ли нужным фигурам.
Вторая ошибка — считать расстоянием наклонную от точки до прямой или плоскости. Её допускают, когда отрезок хорошо виден на чертеже, но наглядность рисунка не доказывает, что путь кратчайший. Проверьте, образует ли отрезок угол 90° с прямой или плоскостью; если нет, это не расстояние.
Третья ошибка — путать расстояние между скрещивающимися прямыми с расстоянием между их проекциями на выбранную плоскость. Проекция может изменить длину, а её отрезок не обязан быть перпендикулярен исходным прямым. Проверка: ищите общий перпендикуляр в пространстве или применяйте формулу через направляющие векторы.
Четвёртая ошибка — считать, что для непараллельных фигур расстояние одинаково при выборе любых точек. Обычно разные пары точек дают отрезки разной длины, и только одна из них задаёт минимум. Чтобы проверить решение, сравните выбранный отрезок с условием: его концы должны быть на фигурах, а длина — наименьшей из возможных.
Для построения кратчайшего отрезка нужны знания о перпендикулярности прямых и плоскостей. Теорема о трёх перпендикулярах помогает переносить перпендикулярность между прямой и её проекцией на плоскость, а теорема Пифагора — находить длины отрезков в прямоугольных треугольниках. Координатный способ связывает геометрию с векторами и вычислениями.
Расстояния между фигурами используются в задачах на сечения, объёмы и углы в пространстве. Они позволяют находить высоты и другие длины, нужные для вычислений, и помогают описывать положение прямых и плоскостей в координатах. Поэтому умение строить общий перпендикуляр полезно и в чисто геометрических, и в вычислительных задачах.
Почему перпендикуляр от точки к плоскости короче любой наклонной?
Перпендикуляр вместе с любой наклонной и её проекцией на плоскость образует прямоугольный треугольник. Наклонная — его гипотенуза, а гипотенуза длиннее катета, поэтому перпендикуляр короче.
Как определить, какие именно точки фигур дают наименьшее расстояние?
Нужно найти пару точек, для которой длина соединяющего их отрезка минимальна. Часто геометрическое положение фигур подсказывает, что этот отрезок должен быть перпендикулярен одной или обеим фигурам; затем результат проверяют вычислением или сравнением.
Чем расстояние между скрещивающимися прямыми отличается от расстояния между пересекающимися?
Пересекающиеся прямые имеют общую точку, поэтому расстояние между ними равно нулю. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны; расстояние между ними положительно и равно длине их общего перпендикуляра.
Как построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых?
Нужно провести отрезок, концы которого лежат на разных прямых, а сам отрезок перпендикулярен обеим. Для построения можно использовать вспомогательную плоскость или плоскость, параллельную одной из прямых, а затем обосновать перпендикулярность по теоремам стереометрии.
Можно ли измерить расстояние от прямой до плоскости, если они не пересекаются?
Да, если прямая параллельна плоскости. Расстояние равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости, то есть длине перпендикуляра; оно не зависит от выбора точки.
§ 19. Расстояние между фигурами
