§ 6. Расстояние между фигурами

Определения и обозначения

Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, если точки обозначены A и B, расстояние между ними равно длине отрезка AB. Это определение позволяет заменить вопрос «как далеко точки друг от друга?» обычным измерением отрезка.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр — отрезок, который пересекает прямую под прямым углом. Его длину используют потому, что она показывает ближайшее расстояние от точки до прямой.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, заключённого между ними. Параллельные прямые не пересекаются, и перпендикуляр связывает одну из них с другой под прямым углом. Такое определение позволяет измерить промежуток между прямыми одним конкретным отрезком.

Расстояние между фигурами — наименьшее из расстояний между точками, принадлежащими этим фигурам. Нужно сравнить расстояния между возможными парами точек и выбрать самое короткое. Если фигуры имеют общую точку, наименьшее расстояние между ними равно нулю.

Как это устроено

Чтобы найти расстояние между точками, соединяют их отрезком и измеряют его длину. Изменение направления движения не меняет расстояния: от A к B и от B к A ведёт один и тот же отрезок AB. Поэтому важно, где находятся концы отрезка, а не в какую сторону его проходят. Например, если AB = 6 см, расстояние между A и B тоже равно 6 см.

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, из точки проводят перпендикуляр к прямой. Почему выбирают именно его? Если соединить точку с другой точкой прямой наклонным отрезком, вместе с перпендикуляром получится прямоугольный треугольник. Перпендикуляр будет его катетом, а наклонный отрезок — гипотенузой; гипотенуза длиннее катета. Значит, перпендикуляр короче любого такого наклонного отрезка и даёт кратчайший путь до прямой.

Если две прямые параллельны, перпендикуляры, опущенные с точек одной прямой на другую, имеют одинаковую длину. Это связано с тем, что параллельные прямые везде сохраняют одно и то же направление и не сближаются и не расходятся. Поэтому достаточно провести один перпендикуляр и измерить его. В каком бы месте между прямыми его ни провели, получится то же расстояние.

Для двух фигур рассматривают не одну заранее выбранную пару точек, а все допустимые пары точек. Расстояние между фигурами — самое маленькое из расстояний между такими парами. Это можно представить как поиск ближайших друг к другу мест у двух фигур. Если фигуры соприкасаются или пересекаются, у них есть общая точка, и расстояние между ними уже равно нулю.

Для фигуры и прямой или для двух фигур нужно отличать расстояние между конкретными точками от расстояния между объектами целиком. Отдельную пару точек можно выбрать и измерить отрезок между ними, но он может оказаться не самым коротким. Чтобы получить расстояние между объектами, надо найти наименьшую длину среди всех возможных пар. Сначала определите, какие именно объекты заданы, а потом выбирайте подходящее правило.

Как определяют расстояние

Пользуйся таблицей как планом: сначала определи, какие объекты даны, затем выбери способ измерения. Для точки и прямой, а также для параллельных прямых ищи перпендикуляр. Если речь идёт о фигурах, нужен самый короткий промежуток между ними.

Разбор задач

Расстояние между точками

Условие: точки A и B лежат на одной прямой, AB = 6 см. Нужно найти расстояние между A и B. Поскольку известна длина отрезка, который соединяет точки, можно сразу применить определение расстояния между точками.

1. Находим отрезок, соединяющий A и B: это AB.
2. По условию длина этого отрезка равна 6 см.
3. Расстояние между точками равно длине соединяющего их отрезка.

Ответ: 6 см.

Расстояние от точки до прямой

Условие: из точки P к прямой l проведены перпендикуляр PH и наклонный отрезок PK. Известно, что PH = 5 см, PK = 7 см. Требуется найти расстояние от P до l. Здесь даны два отрезка, поэтому важно не принять длину наклонного отрезка за искомую.

1. Определяем, какой из отрезков перпендикулярен прямой l: это PH.
2. По определению расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.
3. Подставляем известную длину: PH = 5 см. Длина PK = 7 см не является расстоянием, потому что PK наклонён к прямой.

Ответ: 5 см.

Расстояние между параллельными прямыми

Условие: параллельные прямые l и m пересечены перпендикулярной прямой. На отрезке между ними отмечена точка A, равноудалённая от l и m; расстояние от A до каждой прямой равно 3 см. Нужно найти расстояние между l и m. Точка A расположена между прямыми, значит, расстояние между ними складывается из двух отрезков по перпендикуляру.

1. Обозначим расстояние от A до l как один отрезок, а от A до m — как второй.
2. Оба отрезка лежат на перпендикулярной прямой, поэтому вместе составляют расстояние между l и m.
3. Складываем длины: 3 см + 3 см = 6 см.

Ответ: 6 см.

Типичные ошибки

Ошибка: принимать за расстояние от точки до прямой длину любого отрезка, проведённого к прямой. Так делают, если забывают, что определение требует перпендикуляр. Проверь себя: у искомого отрезка должен быть прямой угол с прямой.

Ошибка: считать, что наклонный отрезок короче перпендикуляра. Это может казаться верным, если судить только по рисунку, но перпендикуляр является кратчайшим отрезком от точки до прямой. Проверь себя по прямоугольному треугольнику: наклонный отрезок — гипотенуза, а она длиннее катета-перпендикуляра.

Ошибка: выбирать произвольную пару точек на фигурах и считать получившийся отрезок расстоянием между фигурами. Такой отрезок показывает расстояние только между выбранными точками и может быть длиннее ближайшего промежутка. Проверь себя: можно ли найти на фигурах точки, расположенные ближе друг к другу?

Ошибка: считать расстояние между пересекающимися фигурами положительным. При пересечении они имеют общую точку, расстояние от которой до самой себя равно нулю. Проверь себя: если фигуры соприкасаются или пересекаются, искать более длинный отрезок между ними не нужно.

Связь с другими темами

Для работы с расстояниями понадобятся знания об отрезке, прямой, параллельных и перпендикулярных прямых. Нужно уметь различать эти объекты и измерять длины отрезков. Без этого нельзя выбрать правильный способ определения расстояния.

Свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка помогает в геометрических построениях и задачах на расстояния. Оно позволяет обосновать, почему из нескольких отрезков к прямой выбирают именно перпендикуляр. Это не просто удобный способ измерения, а геометрическое свойство.

Расстояние между параллельными прямыми используют при изучении свойств параллельных прямых и геометрических фигур. Например, оно помогает описать промежуток между сторонами или границами фигуры. Одинаковая длина перпендикуляров объясняет, почему этот промежуток не меняется вдоль параллельных прямых.

Что запомнить

• Расстояние между двумя точками — длина соединяющего их отрезка.
• Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
• Перпендикуляр короче любого наклонного отрезка, проведённого из той же точки к прямой.
• Расстояние между параллельными прямыми одинаково в любом месте.
• Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между их точками.
• Если фигуры пересекаются, расстояние между ними равно нулю.