12.3. Расстояние между фигурами

Определения и обозначения

Расстояние от точки до фигуры — длина кратчайшего отрезка, соединяющего точку с точкой этой фигуры. Если основание перпендикуляра попадает на фигуру, кратчайшим оказывается именно этот перпендикуляр. Так находят расстояние от точки до прямой или плоскости.

Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между точками, принадлежащими этим фигурам. Оно показывает, насколько близко фигуры могут подойти друг к другу. Если фигуры пересекаются, это расстояние равно нулю.

Общий перпендикуляр двух прямых — отрезок, концы которого лежат на этих прямых, а сам он перпендикулярен каждой из них. Для скрещивающихся прямых такой отрезок задаёт их расстояние. Другие соединяющие отрезки имеют большую длину.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, заключённого между плоскостями. Обозначать его можно, например, буквой h. Любой такой перпендикуляр имеет одну и ту же длину.

Как это устроено

Между двумя фигурами можно провести много отрезков, соединяющих их точки, и длины этих отрезков обычно различны. Поэтому один произвольный отрезок не характеризует взаимное положение фигур. Выбирают кратчайший путь: именно он и называется расстоянием между фигурами.

Если фигуры пересекаются, у них есть общая точка A. Расстояние от A до A равно нулю, а отрицательных расстояний не бывает. Значит, среди всех расстояний между точками фигур встречается ноль, и наименьшее значение равно нулю.

У параллельных прямых направление одной прямой не меняется при переходе к другой. Перпендикуляр к одной из них оказывается перпендикулярным и другой, а его длина не зависит от места построения. Поэтому расстояние между параллельными прямыми измеряют любым отрезком общего перпендикуляра.

Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Среди отрезков, соединяющих их точки, самым коротким будет тот, который перпендикулярен обеим прямым: если появилась составляющая вдоль одной из прямых, отрезок можно укоротить. Такой отрезок называют общим перпендикуляром, а все остальные соединяющие отрезки длиннее него.

Параллельные плоскости имеют одинаковое направление и нигде не пересекаются. Перпендикуляры между ними образуют отрезки одной и той же длины, иначе плоскости сближались бы в одном месте сильнее, чем в другом. Поэтому расстояние между плоскостями можно находить по любому перпендикуляру, проведённому из одной плоскости к другой.

Как находят расстояние между геометрическими фигурами

Сначала определите, пересекаются ли фигуры: в таком случае ответ сразу равен нулю. Если фигуры параллельны или скрещиваются, ищите перпендикуляр, потому что именно он даёт кратчайший отрезок. В вычислениях часто помогает прямоугольный треугольник.

Таблица подсказывает, какой объект нужно строить в каждом типе задачи. После построения проверьте оба условия: концы отрезка должны принадлежать нужным фигурам, а сам отрезок должен быть перпендикулярен требуемым прямым или плоскостям. Затем используйте свойства прямоугольного треугольника или размеры фигуры.

Разбор задач

Точка и плоскость

Пусть из точки A к плоскости α проведена наклонная длины l, а длина её проекции на плоскость равна p. Требуется найти расстояние h от A до α. Обозначим основание перпендикуляра буквой H, а основание наклонной — B.

1. Треугольник AHB прямоугольный: AH ⟂ α, а HB лежит в плоскости α.
2. По теореме Пифагора l² = h² + p².
3. Выразим искомую величину: h = √(l² − p²).

Ответ: расстояние от A до α равно √(l² − p²). Если наклонных несколько, достаточно использовать данные об одной из них и её проекции.

Параллельные прямые

Пусть AB соединяет точку A одной параллельной прямой с точкой B другой, его длина равна l, а составляющая вдоль прямых, то есть длина проекции, равна p. Требуется найти расстояние d между прямыми. Один только отрезок AB не обязан быть перпендикуляром.

1. Опустим из B перпендикуляр к первой прямой и обозначим его длину d.
2. Отрезок AB, его проекция p и перпендикуляр d образуют прямоугольный треугольник.
3. По теореме Пифагора d² = l² − p², поэтому d = √(l² − p²).

Ответ: расстояние между прямыми равно перпендикулярной составляющей соединяющего отрезка. Если AB уже перпендикулярен прямым, то d = l.

Скрещивающиеся прямые в параллелепипеде

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁ с высотой h. Найдём расстояние между диагональю AC нижней грани ABCD и ребром B₁C₁, расположенным на верхней грани и не пересекающим нижнюю. Эти прямые скрещиваются.

1. Ребро CC₁ соединяет точку C диагонали AC с точкой C₁ ребра B₁C₁.
2. CC₁ перпендикулярно нижней грани, поэтому оно перпендикулярно диагонали AC.
3. CC₁ перпендикулярно верхнему ребру B₁C₁, так как боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны его верхней грани.
4. Значит, CC₁ — общий перпендикуляр данных прямых, и его длина равна h.

Ответ: расстояние между AC и B₁C₁ равно высоте параллелепипеда h.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать расстоянием длину любого соединяющего отрезка. Так поступают, потому что отрезок действительно связывает точки фигур, но он может быть длиннее кратчайшего. Проверьте, можно ли выбрать другой отрезок или найти перпендикуляр.

Вторая ошибка — построить отрезок, перпендикулярный только одной скрещивающейся прямой. Одного условия недостаточно: общий перпендикуляр должен быть перпендикулярен обеим прямым. Проведите проверку отдельно для каждого конца и каждой прямой.

Третья ошибка — принять наклонную за расстояние от точки до плоскости. Наклонная обычно длиннее перпендикуляра, поскольку вместе с проекцией образует прямоугольный треугольник. Ищите отрезок, который образует с плоскостью прямой угол.

Четвёртая ошибка — искать ненулевой отрезок между пересекающимися фигурами. Если фигуры имеют общую точку, расстояние от неё до самой себя равно нулю. Сначала проверяйте пересечение, а уже потом выполняйте построения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия перпендикулярности прямых и плоскостей, наклонной и её проекции. В вычислениях используется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. Поэтому полезно уверенно находить катет по гипотенузе и другому катету.

Расстояния применяются в стереометрии при изучении многогранников, сечений и взаимного положения прямых и плоскостей. Умение находить общий перпендикуляр помогает решать задачи на рёбра, диагонали и высоты пространственных фигур.

Что запомнить

• Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между их точками.
• У пересекающихся фигур расстояние равно нулю.
• Расстояние от точки до прямой или плоскости измеряют по перпендикуляру.
• Расстояние между параллельными прямыми постоянно и измеряется перпендикуляром между ними.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми задаётся их общим перпендикуляром.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряется перпендикуляром к ним.