"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, задаёт кратчайший путь от этой точки до плоскости. Его основание — единственная ближайшая к исходной точка плоскости, а длина перпендикуляра называется расстоянием до плоскости. Теорема объясняет это утверждение через теорему Пифагора: любой наклонный отрезок длиннее перпендикуляра. Этот результат помогает находить расстояния в пространстве и решать задачи в координатах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — отрезок, перпендикулярный каждой прямой плоскости, проходящей через его основание. Иными словами, он образует прямой угол с любым направлением в плоскости, исходящим из основания. Это условие отличает перпендикуляр к плоскости от отрезка, перпендикулярного лишь одной прямой.
Основание перпендикуляра — точка плоскости, в которой перпендикуляр пересекает эту плоскость. Если из точки A опущен перпендикуляр AH на плоскость α, то H лежит в α. Эта точка нужна, чтобы обозначить, куда именно падает перпендикуляр.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Для точки A и плоскости α это длина AH, если H — основание перпендикуляра. Такое определение позволяет измерять расстояние однозначно, а не выбирать произвольный отрезок до плоскости.
Ближайшая точка плоскости — точка, расстояние до которой от данной точки меньше, чем до любой другой точки этой плоскости. В рассматриваемой ситуации такой точкой является основание перпендикуляра. Понятие помогает ответить, где находится кратчайший путь от точки к плоскости.
Пусть точка A не лежит в плоскости α. Из A проводят перпендикуляр AH к этой плоскости, а точка H является его основанием и принадлежит α. Именно этот отрезок выбирают потому, что перпендикуляр к плоскости задаёт прямой угол со всеми направлениями в плоскости через H. Поэтому он станет одним из катетов прямоугольного треугольника при сравнении с любым другим путём к плоскости.
Возьмём произвольную точку B плоскости α, отличную от H. Отрезок HB лежит в α и проходит через H, а AH перпендикулярен каждой такой прямой плоскости. Значит, угол AHB прямой, и отрезки AH и HB образуют катеты треугольника AHB. Это позволяет сравнить длину прямого пути AH с длиной отрезка AB, который соединяет A с другой точкой плоскости.
В прямоугольном треугольнике AHB по теореме Пифагора AB² = AH² + HB². Здесь AB — гипотенуза, потому что она лежит напротив прямого угла, а AH и HB — катеты. Теорема Пифагора подходит именно из-за прямого угла, а не просто потому, что рассматриваются три точки в пространстве.
Длина HB не может быть отрицательной, поэтому HB² ≥ 0. Следовательно, AB² = AH² + HB² ≥ AH²; поскольку длины неотрицательны, из этого следует AB ≥ AH. Значит, соединяющий A с любой точкой плоскости отрезок не короче перпендикуляра AH. Геометрический рисунок может подсказать этот результат, но строгое сравнение даёт именно равенство Пифагора.
Равенство AB = AH возможно, только если HB² = 0, а значит, HB = 0 и B совпадает с H. Для каждой другой точки B длина AB строго больше AH. Поэтому H — единственная ближайшая точка плоскости к A, а AH — расстояние от A до плоскости. Теорема одновременно объясняет и минимальность расстояния, и единственность точки, в которой оно достигается.
| Объект или условие | Что утверждается | Следствие |
|---|---|---|
| Точка A и плоскость α | Точка A не лежит в плоскости α | Из A можно опустить перпендикуляр к α |
| Перпендикуляр AH к плоскости α | AH перпендикулярен каждой прямой плоскости α, проходящей через H | H — основание перпендикуляра |
| Любая точка B плоскости α | AB² = AH² + HB² | AB ≥ AH |
| Точка H | Расстояние от A до H минимально | H — единственная ближайшая точка плоскости к A |
| Отрезок AH | Имеет наименьшую длину среди всех отрезков от A до точек плоскости α | AH — расстояние от A до плоскости α |
Читайте таблицу как цепочку рассуждений: условие задаёт перпендикуляр, затем для любой точки плоскости применяется теорема Пифагора. Из полученного неравенства следует минимальность длины AH. Последний столбец фиксирует геометрический смысл вычислений.
Из точки A к плоскости α проведён перпендикуляр AH длиной 5 см. Точка B лежит в плоскости α, HB = 12 см. Найдите AB и сравните его с расстоянием от A до плоскости. Сначала заметим, что AH перпендикулярен отрезку HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный. Искомая длина AB — гипотенуза.
Ответ: AB = 13 см; 13 см больше 5 см.
Докажите, что если H — основание перпендикуляра AH к плоскости α, то для любой точки B плоскости α выполняется AB ≥ AH. Для доказательства нельзя ограничиваться впечатлением от чертежа: нужно рассмотреть произвольную точку B и обосновать сравнение длин. Отдельно проверим, когда вместо неравенства получается равенство.
Ответ: для любой точки B плоскости α выполняется AB ≥ AH; равенство возможно только при B = H.
В пространственной системе координат дана точка A(2; −1; 5) и плоскость z = 0. Найдите ближайшую к A точку плоскости и расстояние от A до неё. Плоскость z = 0 состоит из точек с нулевой третьей координатой, то есть это координатная плоскость Oxy. Перпендикуляр к ней направлен вдоль оси z, поэтому при проекции меняется только третья координата.
Ответ: ближайшая точка — H(2; −1; 0), расстояние равно 5.
Ошибка — считать ближайшим любой отрезок, соединяющий точку с плоскостью. Её допускают, когда воспринимают слово «расстояние» как длину произвольного пути; однако наклонный отрезок может оказаться длиннее. Проверьте, что выбранный отрезок перпендикулярен плоскости, а не просто заканчивается на ней.
Иногда утверждают, что AB = AH при любой точке B плоскости. Такое рассуждение забывает о втором катете HB: если B не совпадает с H, он имеет положительную длину, и по теореме Пифагора AB > AH. Для проверки подставьте HB в равенство AB² = AH² + HB²: равенство длин возможно только при HB = 0.
Нельзя считать, что H — основание перпендикуляра, если точка H не лежит в плоскости или AH перпендикулярен только одной случайной прямой в ней. Эти условия относятся к перпендикуляру к плоскости целиком. Проверьте, что H принадлежит плоскости, а прямой угол образуется с каждой её прямой, проходящей через H.
Ещё одна ошибка — сравнивать AB и AH только по рисунку. Изображение может быть неточным, а наклонные отрезки в пространстве не всегда удаётся надёжно сравнить на глаз. Запишите прямоугольный треугольник AHB и используйте AB² = AH² + HB²; так неравенство будет доказано, а не предположено.
Для доказательства нужны определение перпендикуляра к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорема Пифагора. Сначала устанавливают прямой угол, затем применяют Пифагора к полученному треугольнику. Теорема о ближайшей точке позволяет находить расстояние от точки до плоскости и длину ортогональной проекции. Она также служит основой для задач о расстояниях между прямыми, между прямой и плоскостью, а в координатной геометрии помогает находить проекции и расстояния вычислением.
Почему именно перпендикуляр, а не наклонный отрезок, даёт кратчайшее расстояние?
Если H — основание перпендикуляра из A, а B — любая другая точка плоскости, то треугольник AHB прямоугольный. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB², поэтому AB не меньше AH.
Может ли у точки быть две ближайшие точки одной плоскости?
Нет, ближайшая точка единственна. Равенство AB = AH возможно только при HB = 0, то есть когда B совпадает с H.
Почему в доказательстве используется теорема Пифагора?
Перпендикуляр AH образует прямой угол с отрезком HB, лежащим в плоскости и проходящим через основание H. Поэтому AHB — прямоугольный треугольник, для которого применима теорема Пифагора.
Что изменится, если исходная точка уже лежит в плоскости?
Тогда расстояние от точки до плоскости равно нулю, а ближайшая точка — сама исходная точка. Перпендикулярный отрезок в этом случае вырождается в точку.
Как найти ближайшую точку плоскости в координатах?
Нужно определить основание перпендикуляра, то есть ортогональную проекцию исходной точки на плоскость. Например, для плоскости z = 0 у точки (x; y; z) проекция имеет координаты (x; y; 0), а расстояние равно |z|.
12.2. Теорема о ближайшей точке
