"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Расстояние от точки до фигуры — это наименьшее расстояние от данной точки до всех точек фигуры. Понятие помогает находить кратчайший путь до прямой, плоскости, отрезка, окружности или другой геометрической фигуры. Для прямой и плоскости расстояние измеряют перпендикуляром, а для отрезка сначала проверяют положение проекции: ближайшей может быть внутренняя точка или один из концов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние от точки до фигуры — наименьшее из расстояний от данной точки до всех точек фигуры. Иными словами, нужно выбрать на фигуре такую точку, до которой путь от исходной точки короче, чем до любой другой. Это определение позволяет единообразно говорить о расстоянии до прямой, плоскости, отрезка, окружности и других фигур.
Ближайшая точка фигуры — точка фигуры, расстояние до которой от данной точки минимально. Она показывает, где именно достигается искомое расстояние. Ближайших точек может быть несколько, если несколько точек фигуры одинаково удалены от исходной точки.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Основание этого перпендикуляра лежит на прямой и является ближайшей к исходной точкой прямой. Поэтому для обозначения расстояния часто используют длину перпендикуляра, например AB.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если перпендикуляр AB пересекает плоскость α в точке B, то расстояние от A до α равно AB. Такое определение применяется в стереометрии, когда нужно измерить удалённость вершины или другой точки от плоскости.
Расстояние до фигуры берут как минимум потому, что расстояние между точками уже задано длиной соединяющего их отрезка, а на фигуре таких точек обычно бесконечно много. Среди всех этих длин выбирают самую короткую. Если минимум достигается в точке B, то B называют ближайшей к исходной точкой фигуры.
Положение ближайшей точки зависит от формы фигуры и расположения исходной точки. Для прямой ближайшей оказывается основание перпендикуляра, потому что любой наклонный отрезок образует с перпендикуляром прямоугольный треугольник и имеет большую длину. Ближайшая точка может быть не единственной: например, от центра окружности одинаково удалены все её точки.
Перпендикуляр к прямой короче любой наклонной, соединяющей ту же точку с прямой. Действительно, в прямоугольном треугольнике наклонная является гипотенузой, а гипотенуза длиннее каждого катета. Поэтому именно перпендикуляр, а не произвольно выбранный отрезок, задаёт минимальное расстояние.
Для отрезка сначала рассматривают его содержащую прямую и находят проекцию исходной точки на эту прямую. Если проекция лежит внутри отрезка, она является ближайшей точкой, так как перпендикуляр даёт минимальную длину. Если проекция находится за пределами отрезка, ближайшим будет тот конец, до которого расстояние меньше.
Та же идея работает для плоскости, окружности, круга и других фигур: сравнивают расстояния до всех допустимых точек и выбирают минимум. Для точки, лежащей на фигуре, одна из возможных длин равна нулю, поэтому расстояние равно нулю. Для окружности из центра ближайшими являются все точки окружности, а для точки вне окружности обычно ближайшей оказывается точка на радиальном направлении к центру.
| Фигура | Определение расстояния | Как находят ближайшую точку | Особенности |
|---|---|---|---|
| Точка | Длина отрезка между двумя точками | Единственная точка самой фигуры | Расстояние равно 0, если точки совпадают |
| Прямая | Длина перпендикуляра к прямой | Основание перпендикуляра | Ближайшая точка единственна |
| Плоскость | Длина перпендикуляра к плоскости | Основание перпендикуляра | Перпендикуляр к плоскости единственный |
| Отрезок | Минимум расстояний до его точек | Проекция внутри или ближайший конец | Проекция может не принадлежать отрезку |
| Луч | Минимум расстояний до точек луча | Проекция на луч или его начало | Нужно учитывать направление луча |
| Окружность или круг | Минимум расстояний до точек фигуры | Точка на радиальном направлении или ближайшая граница | Для круга внутренняя точка даёт расстояние 0 |
| Фигура, содержащая данную точку | Минимум равен нулю | Сама данная точка | Точка принадлежит фигуре |
Таблицу удобно использовать как алгоритм выбора способа решения. Сначала определите фигуру, затем найдите возможную проекцию или ближайшие особые точки: концы, начало, центр. После этого проверьте, принадлежит ли найденная точка фигуре.
Задача 1. Из точки A к прямой l проведён перпендикуляр AB длиной 6 см. Найдём расстояние от A до l.
Ответ: 6 см. Другой отрезок из A к прямой был бы наклонным и не мог бы дать меньшее расстояние.
Задача 2. Точка A находится над плоскостью α. Перпендикуляр AB к плоскости равен 8 см, а наклонная AC равна 10 см. Нужно найти расстояние от A до α и объяснить роль AC.
Ответ: 8 см; AC не является расстоянием до плоскости, потому что не перпендикулярна ей.
Задача 3. Точка A расположена вне отрезка BC. Известны AB и AC, а проекция A на прямую BC лежит вне отрезка BC. Найдём расстояние от A до BC.
Ответ: расстояние от A до отрезка BC равно min(AB, AC), то есть меньшей из двух длин. Численное значение можно получить после подстановки данных о AB и AC.
Иногда расстоянием до прямой считают любую наклонную, проведённую из точки. Так происходит, если забывают о слове «наименьшее». Проверьте, перпендикулярен ли выбранный отрезок прямой; только тогда его длина является расстоянием.
Расстояние до отрезка путают с расстоянием до всей прямой, потому что сначала находят проекцию. Ошибка появляется, когда не проверяют, попала ли проекция между концами отрезка. Самопроверка проста: отметьте основание перпендикуляра и убедитесь, что оно принадлежит именно отрезку.
Для расстояния до плоскости выбирают диагональ или наклонную, не устанавливая перпендикулярность. Такая длина может соединять точку с плоскостью, но не обязана быть минимальной. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол со всеми направлениями плоскости.
Слово «минимальное» иногда используют без указания точки, где оно достигается. Тогда непонятно, почему выбранная длина действительно подходит. Назовите ближайшую точку и объясните, почему остальные варианты не короче.
Для решения задач нужны определения перпендикуляра и наклонной, свойства расстояния между точками, прямыми и плоскостями. Они объясняют, почему перпендикуляр даёт кратчайший отрезок.
Понятие постоянно используется в стереометрии: при работе с призмами, пирамидами, углами и взаимным расположением фигур. Расстояния помогают находить высоты, длины рёбер и элементы сечений.
В координатной геометрии та же идея выражается формулами расстояния от точки до прямой, плоскости или другого множества. Координаты позволяют вычислить минимум численно, а геометрическое определение объясняет смысл результата.
Почему расстояние до прямой нельзя измерять по наклонной?
Наклонный отрезок соединяет точку с прямой, но обычно длиннее перпендикуляра. Перпендикуляр даёт наименьшее из всех возможных расстояний до точек прямой.
Как найти расстояние от точки до отрезка, если перпендикуляр попадает за его пределы?
В этом случае основание перпендикуляра не принадлежит отрезку, поэтому оно не может быть ближайшей точкой отрезка. Нужно сравнить расстояния до концов и выбрать меньшее.
Может ли у точки быть несколько ближайших точек на фигуре?
Да, например, у точки, расположенной в центре окружности, все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Поэтому ближайших точек может быть бесконечно много.
Почему расстояние от точки до плоскости является единственным?
Через точку, не лежащую в плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой плоскости. Её пересечение с плоскостью и определяет единственное основание перпендикуляра.
Чем расстояние от точки до фигуры отличается от расстояния между двумя фигурами?
В первом случае фиксирована одна точка, а выбирается ближайшая точка фигуры. При расстоянии между двумя фигурами выбирают по одной точке на каждой фигуре и ищут минимальную длину соединяющего их отрезка.
12.1. Расстояние от точки до фигуры
