"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Расстояние от точки до фигуры показывает, насколько близко точка расположена к этой фигуре. Его определяют не по произвольно выбранному отрезку, а по кратчайшему из всех возможных: для прямой и плоскости таким отрезком служит перпендикуляр, а для отрезка нужно проверить, попадает ли на него основание перпендикуляра. Это понятие помогает решать геометрические задачи в пространстве и вычислять расстояния по координатам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние от точки до фигуры — наименьшее из расстояний от данной точки до точек этой фигуры. Среди всех отрезков, соединяющих точку с точками фигуры, выбирают самый короткий. Поэтому расстояние зависит от самой фигуры, а не от случайно выбранной на ней точки.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, а точку пересечения называют основанием перпендикуляра. Это определение позволяет однозначно находить кратчайший отрезок от точки до прямой.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Основание перпендикуляра лежит в плоскости и является ближайшей к исходной точке её точкой. Такое определение нужно, чтобы измерять удалённость от плоскости независимо от того, какую точку плоскости можно было бы выбрать произвольно.
У фигуры обычно бесконечно много точек, и от заданной точки можно провести к ним отрезки разной длины. Если выбрать произвольную точку фигуры, получим расстояние именно до неё, а не до всей фигуры. Поэтому расстоянием до фигуры называют наименьшую возможную длину: она описывает, насколько близко фигура подходит к исходной точке.
Пусть из точки A к прямой проведён перпендикуляр AH, а B — любая другая точка прямой. Треугольник AHB прямоугольный, и AB является его гипотенузой, а AH — катетом. Гипотенуза длиннее катета, значит AB > AH; следовательно, ни один наклонный отрезок до прямой не короче перпендикуляра.
Для плоскости действует тот же принцип: кратчайший отрезок из точки к плоскости перпендикулярен ей. Если AH перпендикулярен плоскости α, то он перпендикулярен любой прямой этой плоскости, проходящей через H. По свойству перпендикуляра к плоскости любой наклонный отрезок AB к точке B плоскости является гипотенузой прямоугольного треугольника AHB и длиннее AH; это согласуется с теоремой о трёх перпендикулярах.
При поиске расстояния от точки до отрезка недостаточно опустить перпендикуляр на прямую, содержащую отрезок: его основание может оказаться за пределами самого отрезка. Если основание лежит на отрезке, расстояние равно длине перпендикуляра. Если оно вне отрезка, ближайшая точка отрезка — один из его концов; сравнивают расстояния до обоих концов и выбирают меньшее.
Координаты позволяют вычислять расстояния по уравнениям фигур. Для прямой Ax + By + C = 0 на координатной плоскости расстояние от точки (x₀; y₀) равно |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Для плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и точки (x₀; y₀; z₀) формула имеет вид |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). В числитель подставляют координаты точки, а знаменатель равен длине нормального вектора прямой или плоскости.
| Фигура | Ближайшая точка или отрезок | Как определить расстояние |
|---|---|---|
| Прямая | Основание перпендикуляра на прямой | Длина перпендикуляра от точки до прямой |
| Плоскость | Основание перпендикуляра в плоскости | Длина перпендикуляра от точки до плоскости |
| Отрезок | Основание перпендикуляра, если оно на отрезке; иначе ближайший конец | Длина перпендикуляра или расстояние до ближайшего конца |
Сначала определите, какая именно фигура задана, затем найдите её ближайшую точку к исходной. Для прямой и плоскости это основание перпендикуляра, а для отрезка положение основания нужно проверить отдельно. После этого найдите длину соответствующего отрезка геометрически или по координатам.
Задача 1. Из точки A, не лежащей на прямой l, опущен перпендикуляр AH. Известно, что AH = 5 см. Определите расстояние от A до l. Здесь уже построен отрезок, который по определению измеряет расстояние до прямой.
Ответ: 5 см.
Задача 2. Точка A находится на расстоянии 6 см от плоскости α, точка H — основание перпендикуляра AH, а точка B лежит в α и HB = 8 см. Найдите AB. Поскольку H и B принадлежат плоскости, отрезок HB лежит в α, а AH перпендикулярен этой плоскости.
Ответ: 10 см.
Задача 3. Точка P имеет координаты (1; 2; 3), а плоскость задана уравнением 2x − y + 2z − 5 = 0. Найдите расстояние от P до плоскости. Коэффициенты при x, y и z задают нормальный вектор плоскости с координатами (2; −1; 2).
Ответ: 1/3.
Ошибка: считать расстоянием до прямой длину любого соединяющего отрезка. Так поступают, если замечают, что отрезок заканчивается на прямой, но забывают о требовании кратчайшей длины. Проверьте, образует ли он с прямой прямой угол: если нет, это не расстояние до прямой.
Ошибка: измерять расстояние до плоскости от произвольной её точки. Такая точка может быть далеко от исходной, поэтому найденная длина не будет наименьшей. Проверьте, перпендикулярен ли соединяющий отрезок плоскости и является ли его конец основанием перпендикуляра.
Ошибка: использовать длину перпендикуляра, основание которого оказалось вне отрезка. Перпендикуляр в этом случае проведён к прямой, содержащей отрезок, а не к самому отрезку. Проверьте положение основания; если оно вне отрезка, сравните расстояния до его концов.
Ошибка: в формуле расстояния до плоскости забывать модуль или деление на длину нормального вектора. Без модуля ответ может стать отрицательным, а без знаменателя подстановка не даёт расстояние в правильном масштабе. Проверьте, что числитель записан в модуле, знаменатель содержит корень из суммы квадратов коэффициентов при x, y, z, а итог неотрицателен.
Для работы с расстояниями нужно знать, что означает перпендикулярность прямых, а также прямой и плоскости: именно она помогает найти кратчайший отрезок. В задачах, где известны стороны прямоугольного треугольника, используется теорема Пифагора. Эти знания связывают планиметрию с геометрией в пространстве и координатным методом.
Понятие расстояния от точки до фигуры пригодится при решении задач на расстояния в пространстве и вычислениях по координатам. Оно также служит основой для нахождения расстояния между фигурами: сначала устанавливают, какие точки или элементы окажутся ближайшими. Затем применяют геометрические свойства или соответствующие формулы.
Почему расстояние от точки до прямой измеряют именно перпендикуляром?
Перпендикуляр образует с прямой угол и даёт кратчайший отрезок от точки до неё. Любой наклонный отрезок длиннее: вместе с перпендикуляром он образует прямоугольный треугольник, где наклонный отрезок — гипотенуза.
Может ли расстояние от точки до плоскости быть равно нулю?
Да, если точка лежит в плоскости. Тогда ближайшая к ней точка плоскости совпадает с самой точкой, а длина перпендикуляра равна нулю.
Как найти расстояние от точки до отрезка, если основание перпендикуляра вне отрезка?
В этом случае перпендикуляр попадает на продолжение прямой, содержащей отрезок, поэтому его длина не является расстоянием до отрезка. Нужно сравнить расстояния от заданной точки до обоих концов отрезка и выбрать меньшее.
Чем расстояние от точки до фигуры отличается от расстояния до выбранной точки этой фигуры?
Расстояние до выбранной точки — длина конкретного соединяющего их отрезка. Расстояние до фигуры — наименьшее из расстояний до всех её точек, поэтому выбранная точка даст нужный результат только тогда, когда она ближайшая.
Как вычислить расстояние от точки до плоскости по координатам?
Если плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а точка имеет координаты (x₀; y₀; z₀), используют формулу |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Модуль обеспечивает неотрицательность расстояния, а знаменатель равен длине нормального вектора плоскости.
§ 18. Расстояние от точки до фигуры
