§ 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника

Определения и обозначения

Ортогональная проекция точки — точка пересечения плоскости проекции с перпендикуляром, опущенным из исходной точки на эту плоскость. Иными словами, это ближайшая к исходной точке точка плоскости. Такое построение задаёт однозначное соответствие между точкой и её изображением, нужное для проектирования фигуры.

Ортогональная проекция многоугольника — многоугольник, вершинами которого являются ортогональные проекции вершин исходного многоугольника. Полученные вершины соединяют в том же порядке, что и в исходной фигуре. Это позволяет перенести на плоскость сложную фигуру, сохраняя её контур в проекции.

Угол между плоскостями — меньший угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в каждой из них; он острый или прямой. Такой способ измерения удобен, потому что сравнивает наклон плоскостей в одном и том же сечении. В формуле площади этот угол обозначают α.

Площадь ортогональной проекции — площадь многоугольника, полученного ортогональным проектированием на другую плоскость. Её обозначим Sпр, а площадь исходного многоугольника — S. Эти обозначения помогают записать связь между площадями как Sпр = S cos α.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию многоугольника, из каждой его вершины опускают перпендикуляр на плоскость проекции. Основания перпендикуляров становятся вершинами нового многоугольника, которые затем соединяют по порядку. Такой способ работает потому, что сторона исходной фигуры соединяет две соседние вершины, а её проекция соединяет их проекции.

Для построения проекции достаточно знать проекции вершин: стороны многоугольника переходят в отрезки между проекциями концов. Если диагоналями разбить исходный многоугольник на треугольники, их образы тоже составят разбиение проекции. Проекция каждой общей диагонали остаётся общей границей образов соседних частей, поэтому площади этих частей можно складывать.

При наклонном проектировании размеры фигуры меняются неодинаково. В направлении, параллельном линии пересечения исходной плоскости и плоскости проекции, отрезки сохраняют длину; в перпендикулярном к этой линии направлении они сокращаются в cos α раз. Это объясняется тем, что длина проекции наклонного отрезка равна его длине, умноженной на косинус угла между отрезком и его проекцией.

Уменьшение одного из размеров приводит к пропорциональному уменьшению площади. Например, у прямоугольника можно рассматривать основание, параллельное линии пересечения плоскостей, и высоту, перпендикулярную ей: основание сохраняется, а высота сокращается в cos α раз. Разбив многоугольник на треугольники, получаем ту же зависимость для каждой части и, значит, для всей фигуры: Sпр = S cos α.

Если плоскости совпадают, угол α равен 0°, а cos 0° = 1, поэтому проекция имеет ту же площадь, что и исходный многоугольник. Если плоскости перпендикулярны, α равен 90°, а cos 90° = 0. Тогда размер в одном направлении исчезает, многоугольник проецируется в отрезок или точку и площадь его проекции равна нулю.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Сначала определите, какая площадь известна, и выберите прямую или обратную формулу. Затем найдите косинус угла между плоскостями и проверьте, что площадь проекции не получилась больше исходной. При α = 90° нельзя находить исходную площадь делением на cos α: в этом случае косинус равен нулю.

Разбор задач

Прямоугольник площадью 24 см² лежит в плоскости, образующей с плоскостью проекции угол 60°. Найдём площадь его ортогональной проекции. В этой задаче известны S = 24 см² и α = 60°, поэтому применяем формулу Sпр = S cos α.

1. Запишем формулу площади проекции: Sпр = S cos α. В неё подставим площадь прямоугольника и угол между плоскостями, а не угол между стороной и плоскостью. Так мы учитываем именно наклон всей плоскости фигуры.
2. Вычислим косинус: cos 60° = ½. Тогда Sпр = 24 · ½ = 12 см². Получили площадь меньше исходной, что согласуется с тем, что проекция не увеличивает площадь.

Ответ: 12 см².

Площадь ортогональной проекции треугольника равна 18 см², а угол между плоскостями равен 60°. Требуется найти площадь самого треугольника. Поскольку известна площадь проекции, используем обратную формулу S = Sпр / cos α.

1. Подставим значения: S = 18 / cos 60°. Косинус равен ½, поэтому деление на него означает умножение на 2. Так восстанавливаем площадь, уменьшенную при проектировании.
2. Вычислим: S = 18 / ½ = 36 см². Результат больше площади проекции, как и должно быть при ненулевом угле наклона. Обратная формула применима, потому что cos 60° не равен нулю.

Ответ: 36 см².

Выпуклый многоугольник разбит диагоналями на треугольники площадями 12 см² и 20 см². Плоскость фигуры образует с плоскостью проекции угол 60°. Найдём площадь проекции всего многоугольника. Сначала нужна его полная площадь, затем к ней применим формулу проектирования.

1. Сложим площади частей: S = 12 + 20 = 32 см². Это возможно, потому что треугольники образуют разбиение многоугольника и их внутренности не перекрываются. Следовательно, сумма площадей частей равна площади целой фигуры.
2. Применим Sпр = S cos α: Sпр = 32 · cos 60° = 32 · ½ = 16 см². Можно также спроецировать каждый треугольник отдельно и сложить площади, результат будет таким же. Это подтверждает, что общий множитель cos α действует на всю фигуру.

Ответ: 16 см².

Типичные ошибки

Первая ошибка — использовать синус вместо косинуса. Так происходит, когда угол между плоскостями путают с углом между плоскостью и перпендикуляром к ней: эти углы дополняют друг друга до 90°. Проверьте обозначение угла и опирайтесь на формулу Sпр = S cos α, где α — именно угол между плоскостями.

Вторая ошибка — умножить исходную площадь на обратную величину косинуса. Это неверно, потому что проекция не увеличивает площадь: при наклоне один из размеров сокращается. Проверьте направление вычисления: если известна исходная площадь, умножайте на cos α; делить на косинус нужно, чтобы восстановить исходную площадь по проекции.

Третья ошибка — взять тупой угол между плоскостями. Для формулы используют меньший угол, острый или прямой, чтобы cos α был неотрицательным. Если в условии или чертеже указан тупой угол, найдите дополнительный до 180° и проверьте, что площадь проекции не стала отрицательной.

Четвёртая ошибка — не рассмотреть случай α = 90°. При перпендикулярных плоскостях проекция имеет нулевую площадь, поскольку фигура сжимается в отрезок или точку. Проверьте косинус: cos 90° = 0, а значит, делить на него для нахождения исходной площади нельзя.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формулы площадей треугольника, прямоугольника и других многоугольников. Если фигура составная или разбита диагоналями, сначала находят площади частей и складывают их, а уже затем применяют формулу проекции. Эта тема пригодится при нахождении площадей сечений и проекций многогранников. Она также связана с изучением углов и расстояний в пространстве, где важно учитывать взаимное расположение плоскостей и прямых.

Что запомнить

• Ортогональную проекцию строят, опуская перпендикуляры к плоскости проекции.
• Проекция многоугольника получается проектированием его вершин.
• Площадь проекции не превосходит площадь исходного многоугольника.
• Основная формула: Sпр = S cos α.
• α — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
• При α = 0° площади равны.
• При α = 90° площадь проекции равна нулю.