§ 16. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Например, в пространственной фигуре одно ребро может идти горизонтально, а другое — вертикально в другой части фигуры. Это определение позволяет отличить скрещивающиеся прямые от пересекающихся и параллельных.

Общий перпендикуляр двух прямых — отрезок, концы которого лежат на этих прямых, а сам отрезок перпендикулярен каждой из них. Если отрезок AB соединяет точки прямых a и b, то нужно проверить AB ⟂ a и AB ⟂ b. Поэтому одного конца на каждой прямой недостаточно.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Обозначают его часто так: d(a, b) = AB, если AB — общий перпендикуляр. Это расстояние не зависит от выбора произвольных точек, потому что общий перпендикуляр у данных прямых единственный.

Как это устроено

Скрещивающиеся прямые не имеют общей плоскости, поэтому нельзя рассуждать о них так же, как о двух прямых на листе. Однако направления этих прямых можно сравнить: через точку одной из них проводят прямую, параллельную другой. Тогда появляется плоскость, содержащая первую прямую и эту параллельную копию второй. Перпендикуляр к такой плоскости одновременно перпендикулярен всем прямым, параллельным её направлению.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Через a проведём плоскость α, параллельную b. Прямая b имеет в этой плоскости параллельную ей проекцию b′, а b′ пересекает a в точке A. Через A проведём прямую, перпендикулярную плоскости α; она пересечёт b в точке B, и отрезок AB станет кандидатом на общий перпендикуляр.

Почему AB перпендикулярен обеим прямым? Прямая AB перпендикулярна плоскости α, значит, она перпендикулярна прямой a, лежащей в этой плоскости. Кроме того, b параллельна α, а прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, параллельной этой плоскости. Следовательно, AB ⟂ b тоже.

Существование общего перпендикуляра следует из описанного построения: для любой пары скрещивающихся прямых можно провести нужную плоскость и перпендикуляр к ней. Единственность связана с тем, что через точку плоскости проходит только одна прямая, перпендикулярная этой плоскости. Поэтому другой отрезок с теми же свойствами имел бы те же концы и совпал бы с AB.

Любой другой отрезок, соединяющий точки двух прямых, образует с общим перпендикуляром и прямыми пространственный треугольник или его аналог. В таком соединении появляется наклонная составляющая, поэтому его длина не меньше длины перпендикуляра. Равенство возможно только для самого общего перпендикуляра, так что его длина является наименьшим расстоянием между прямыми.

На пространственном чертеже общий перпендикуляр изображают отрезком с концами на обеих скрещивающихся прямых. В местах пересечения его изображения с прямыми ставят знаки прямого угла, обычно маленькие квадратики. Если рисунок условен и углы не видны, перпендикулярность обязательно подтверждают свойствами плоскостей и параллельных прямых.

Общий перпендикуляр и расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала по таблице проверяют геометрический объект: где находятся его концы и каким прямым он перпендикулярен. После этого переходят к числу — длине отрезка. Если перпендикулярность не доказана, найденный отрезок ещё нельзя считать расстоянием.

Разбор задач

Задача 1

Условие: даны скрещивающиеся прямые a и b. Укажите условия, которым должен удовлетворять отрезок, чтобы быть их общим перпендикуляром. Здесь нужно перечислить не внешние признаки рисунка, а точные свойства определения.

1. Выберем отрезок AB так, чтобы точка A лежала на прямой a, а точка B — на прямой b.
2. Проверим первый прямой угол: AB ⟂ a. Затем отдельно проверим второй: AB ⟂ b.
3. Если оба условия выполнены, AB является общим перпендикуляром. Если выполнено только одно, отрезок не подходит.

Ответ: концы отрезка должны лежать соответственно на a и b, а сам отрезок должен быть перпендикулярен и a, и b.

Задача 2

Условие: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние между прямыми AB и CC₁. Ребро BC соединяет точку B на первой прямой с точкой C на второй, поэтому сначала проверим его положение.

1. Точка B принадлежит AB, а точка C принадлежит CC₁, значит, BC соединяет данные прямые.
2. В квадрате ABCD соседние рёбра BC и AB перпендикулярны.
3. Ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD, поэтому оно перпендикулярно BC, лежащему в этой плоскости.
4. Следовательно, BC — общий перпендикуляр, а его длина равна ребру куба.

Ответ: расстояние между AB и CC₁ равно BC, то есть длине ребра куба.

Задача 3

Условие: в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы размеры AB = a, BC = b, AA₁ = c. Найти расстояние между прямыми AD и BB₁. Искомый отрезок нужно выбрать так, чтобы он одновременно был горизонтальным поперечным ребром и перпендикулярным вертикальному направлению.

1. Отрезок AB соединяет точку A на AD с точкой B на BB₁.
2. Так как основание ABCD — прямоугольник, AB ⟂ AD.
3. Ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания, а AB лежит в этой плоскости, значит, AB ⟂ BB₁.
4. AB — общий перпендикуляр, поэтому расстояние равно его длине, указанной в условии.

Ответ: расстояние между AD и BB₁ равно AB = a.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать общим перпендикуляром отрезок, перпендикулярный только одной прямой. Так происходит, когда на рисунке проверяют лишь один видимый угол. Проверьте два условия отдельно: перпендикулярность первой и второй прямой.

Вторая ошибка — провести отрезок с концом рядом с прямой, но не на ней. В пространственном чертеже из-за проекции это бывает незаметно. Мысленно назовите концы отрезка и убедитесь, что каждый принадлежит своей прямой.

Третья ошибка — принять за расстояние длину любого соединяющего отрезка. Наклонный отрезок обычно длиннее перпендикуляра, хотя тоже соединяет две прямые. Ищите именно общий перпендикуляр, а затем вычисляйте его длину.

Четвёртая ошибка — обосновывать перпендикулярность только видом рисунка. Пространственная проекция искажает углы, поэтому такой вывод ненадёжен. Используйте свойства перпендикулярности прямой и плоскости, параллельности и прямоугольных граней.

Связь с другими темами

Для изучения общего перпендикуляра нужны определения скрещивающихся и параллельных прямых, а также признаки перпендикулярности прямых и плоскостей. Без этих свойств нельзя обосновать, что найденный отрезок действительно перпендикулярен обеим прямым.

Понятие расстояния между скрещивающимися прямыми применяется в задачах о кубах, призмах и других многогранниках. Оно также связано с дальнейшим изучением взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.

Что запомнить

• Общий перпендикуляр имеет по одному концу на каждой из двух прямых.
• Общий перпендикуляр перпендикулярен обеим прямым.
• У двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине общего перпендикуляра.
• Расстояние между прямыми — наименьшее из расстояний между их точками.
• Перпендикулярность общего перпендикуляра нужно обосновать, а не только отметить на чертеже.