15.2. Свойства перпендикулярных плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей прямой. Эта прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. Внутренняя область находится между гранями; представление о ней помогает отличать сам двугранный угол от одной только линии пересечения.

Линейный угол двугранного угла — угол, полученный при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Стороны этого угла лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру. Такой плоский угол позволяет измерить наклон граней обычными средствами.

Угол между плоскостями — величина острого или прямого линейного угла, характеризующая взаимный наклон плоскостей. Если плоскости пересекаются, их общая прямая служит ребром двугранного угла. Определение нужно, чтобы сравнивать плоскости по их наклону, а не по произвольно выбранным направлениям в них.

Перпендикулярные плоскости — пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен 90°. Записывают α ⟂ β. Это понятие обобщает знакомую перпендикулярность прямых и позволяет формулировать признаки для пространственных фигур.

Как это устроено

У двух пересекающихся плоскостей есть общая прямая — ребро образованного ими двугранного угла. Чтобы измерить наклон граней, проводят сечение плоскостью, перпендикулярной ребру: в сечении получается линейный угол. При параллельном переносе такой секущей плоскости стороны угла остаются параллельны прежним, поэтому величина угла не меняется. Значит, она зависит от положения граней, а не от места сечения.

Пусть α и β пересекаются по прямой l. Возьмите точку O на l и проведите в каждой плоскости через O прямую, перпендикулярную l; угол между этими прямыми будет линейным. Его величина и есть угол между плоскостями, если выбран острый или прямой угол. Поэтому в задаче сначала находят общую прямую, а затем строят два перпендикуляра к ней в соответствующих плоскостях.

Перпендикулярность плоскостей можно установить через прямую. Если α содержит прямую a, перпендикулярную β, то a перпендикулярна и направлению пересечения α с β. Линейный угол α и β поэтому прямой, а значит, α ⟂ β. Это критерий удобен, когда перпендикуляр к плоскости уже дан или его можно построить.

Есть и обратное полезное свойство. Если α ⟂ β, а прямая a лежит в α и перпендикулярна линии l пересечения плоскостей, то a ⟂ β. В самом деле, в α через точку l прямая a задаёт сторону линейного угла, а в β другая сторона этого угла перпендикулярна l. Поскольку угол между плоскостями прямой, эти стороны перпендикулярны; следовательно, a перпендикулярна двум пересекающимся прямым β и перпендикулярна самой плоскости.

Оба утверждения сводят задачу о плоскостях к знакомым признакам перпендикулярности прямой и плоскости. Чтобы доказать, что a ⟂ β, обычно показывают, что a перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в β. А чтобы доказать α ⟂ β, достаточно найти в α такую прямую a, которая перпендикулярна β. Так геометрическую задачу можно упростить до построения и проверки прямых.

Признаки и свойства перпендикулярных плоскостей

Сначала определите, что дано: перпендикулярная плоскости прямая, уже известный прямой угол или перпендикуляр к линии пересечения. Затем выберите строку с подходящим условием и проверьте, что все объекты расположены именно так, как требуется. Таблица помогает выбрать ход доказательства, но не заменяет обоснование расположения прямой и плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Даны плоскости 2x + y − 2z = 0 и x − 2y = 0. Определить, перпендикулярны ли они. Нормали к плоскостям дают информацию об их наклоне: их можно получить непосредственно из коэффициентов при x, y и z. Если скалярное произведение нормалей равно нулю, нормали перпендикулярны, а плоскости образуют прямой угол.

1. Найдём нормальные векторы: n₁ = (2, 1, −2), n₂ = (1, −2, 0).
2. Вычислим скалярное произведение: n₁ · n₂ = 2 · 1 + 1 · (−2) + (−2) · 0 = 0.
3. Ненулевые нормали перпендикулярны, следовательно, и плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Задача 2. Плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α. Доказать, что β ⟂ α. Здесь важно не перепутать, какая плоскость содержит прямую: это данная β. Условие сразу совпадает с признаком перпендикулярности плоскостей, поэтому дополнительное построение линейного угла не требуется.

1. По условию a ⊂ β и a ⟂ α.
2. Плоскость β содержит прямую, перпендикулярную α.
3. По признаку перпендикулярности плоскостей β ⟂ α.

Ответ: β ⟂ α.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ доказать, что ABB₁A₁ ⟂ ABCD, а затем найти угол между диагональю AB₁ боковой грани ABB₁A₁ и плоскостью основания. Сначала докажем перпендикулярность граней по прямой, затем найдём проекцию диагонали на основание. Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией.

1. В квадрате ABB₁A₁ ребро AA₁ перпендикулярно AB, а AB лежит в основании ABCD. Поскольку AA₁ также перпендикулярно AD, двум пересекающимся прямым основания, AA₁ ⟂ ABCD.
2. Плоскость ABB₁A₁ содержит AA₁, значит, по признаку ABB₁A₁ ⟂ ABCD.
3. Проекция AB₁ на основание — отрезок AB: точка A уже лежит в основании, а B₁ проектируется в B. В прямоугольном треугольнике ABB₁ катеты AB и BB₁ равны, поэтому угол между AB₁ и AB равен 45°.

Ответ: плоскости перпендикулярны; угол между AB₁ и основанием равен 45°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые пересекающиеся плоскости перпендикулярными. Плоскости могут пересекаться под острым или тупым двугранным углом, поэтому самого факта пересечения недостаточно. Такую ошибку допускают, смешивая пересечение и перпендикулярность. Проверьте, что линейный угол равен именно 90°.

Ошибка: брать угол между произвольными прямыми из плоскостей. Эти прямые могут иметь наклон к общей линии, не соответствующий наклону самих плоскостей. Для измерения используют стороны линейного угла, то есть прямые, перпендикулярные ребру двугранного угла. Проверка проста: установите, что обе выбранные прямые перпендикулярны линии пересечения плоскостей.

Ошибка: применять признак, не проверив принадлежность прямой. Признак требует, чтобы прямая, перпендикулярная одной плоскости, лежала в другой рассматриваемой плоскости. Ученик может увидеть перпендикуляр и сделать вывод, не установив, где он расположен. Перед применением запишите оба условия: a ⊂ β и a ⟂ α.

Ошибка: делать вывод только по произвольно выбранным нормалям или путать перпендикулярность с параллельностью. Для плоскостей, заданных уравнениями, нормали действительно помогают: нулевое скалярное произведение означает, что плоскости перпендикулярны. Но нормали надо получить из коэффициентов уравнений и корректно проверить; одного рисунка или словесного впечатления недостаточно. Подставьте координаты в формулу скалярного произведения и объясните, почему выбранные векторы являются нормалями.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать признаки перпендикулярности прямой и плоскости, свойства перпендикулярных прямых и уметь строить линейный угол двугранного угла. Она опирается на понятия двугранного угла, общей линии пересечения плоскостей и угла между прямой и плоскостью. В следующих задачах свойства перпендикулярных плоскостей помогают исследовать сечения многогранников, расстояния между фигурами и углы в пространственных телах. Эти же построения нужны для обоснования формул объёма.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под прямым углом.
• Угол между плоскостями равен величине их линейного угла.
• Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• При перпендикулярных плоскостях прямая одной плоскости, перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
• В задачах сначала нужно найти или построить линию пересечения плоскостей.
• Для доказательства перпендикулярности плоскостей достаточно применить подходящий признак.
• Угол между плоскостями выбирают острым или прямым.